Одномерное дискретное время система состоит из модуля массы, $$m$$, прикрепленный к стене пружиной модуль упругой константы. Датчик дискретизирует ускорение, $$a$$, массы при $$F_s=5$$ Гц.

Сгенерируйте 50 временных выборок. Определите интервал дискретизации $$\Delta t=1/F_s$$.

Fs = 5;
dt = 1/Fs;
N = 50;
t = dt*(0:N-1);

Генератор может быть описан уравнениями пространства состояний

где $$x={\left(\begin{array}{cc}r& v\end{array}\right)}^T$$ - вектор состояния, $$r$$ и $$v$$ являются соответственно положением и скоростью массы и матриц

A = [cos(dt) sin(dt);-sin(dt) cos(dt)];
B = [1-cos(dt);sin(dt)];
C = [-1 0];
D = 1;

Система возбуждается модулем импульсом в положительном направлении. Используйте модель пространства состояний, чтобы вычислить временную эволюцию системы, начиная с полностью нулевого начального состояния.

u = [1 zeros(1,N-1)];

x = [0;0];
for k = 1:N
    y(k) = C*x + D*u(k);
    x = A*x + B*u(k);
end

Постройте график ускорения массы как функции времени.

stem(t,y,'filled')
xlabel('t')

Вычислите зависящее от времени ускорение с помощью передаточной функции H (z), чтобы фильтровать вход. Постройте график результата.

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D);
yt = filter(b,a,u);
stem(t,yt,'filled')
xlabel('t')

Передаточная функция системы имеет аналитическое выражение:

Используйте выражение для фильтрации входов. Постройте график отклика.

bf = [1 -(1+cos(dt)) cos(dt)];
af = [1 -2*cos(dt) 1];
yf = filter(bf,af,u);
stem(t,yf,'filled')
xlabel('t')

Результат один и тот же во всех трех случаях.

Идеальная одномерная колебательная система состоит из двух единичных масс, $$m_1$$ и $$m_2$$, ограниченный между двумя стенками. Каждая масса крепится к ближайшей стенке пружиной модуля упругой постоянной. Другая такая пружина соединяет две массы. Выборка датчиков $$a_1$$ и $$a_2$$, ускорения масс, при $$F_s=16$$ Гц.

Задайте общее время измерения 16 с. Задайте интервал дискретизации $$\Delta t=1/F_s$$.

Fs = 16;
dt = 1/Fs;
N = 257;
t = dt*(0:N-1);

Система может быть описана моделью пространства состояний

где $$x={\left(\begin{array}{cccc}{r}_1& v_1& r_2& v_2\end{array}\right)}^T$$ является вектором состояния и $$r_i$$ и $$v_i$$ являются соответственно местоположением и скоростью $$i$$-я масса. Вектор входа $$u={\left(\begin{array}{cc}{u}_1& u_2\end{array}\right)}^T$$ и вектор выхода $$y={\left(\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\end{array}\right)}^T$$. Матрицы пространства состояний

матрицы пространства состояний в непрерывном времени

и $$I$$ обозначает тождества матрицу соответствующего размера.

Ac = [0 1 0 0;-2 0 1 0;0 0 0 1;1 0 -2 0];
A = expm(Ac*dt);
Bc = [0 0;1 0;0 0;0 1];
B = Ac\(A-eye(4))*Bc;
C = [-2 0 1 0;1 0 -2 0];
D = eye(2);

Первая масса, $$m_1$$, получает модуль импульс в положительном направлении.

ux = [1 zeros(1,N-1)];
u0 = zeros(1,N);
u = [ux;u0];

Используйте модель, чтобы вычислить эволюцию системы во времени, начиная с полностью нулевого начального состояния.

x = [0;0;0;0];
for k = 1:N
    y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
    x = A*x + B*u(:,k);
end

Постройте график ускорений двух масс как функций времени.

stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid

Преобразуйте систему в представление передаточной функции. Найдите ответ системы на положительное единичное импульсное возбуждение на первой массе.

[b1,a1] = ss2tf(A,B,C,D,1);
y1u1 = filter(b1(1,:),a1,ux);
y1u2 = filter(b1(2,:),a1,ux);

Постройте график результата. Передаточная функция дает тот же ответ, что и модель пространства состояний.

stem(t,[y1u1;y1u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid

Система устанавливается в исходное строение. Теперь другая масса, $$m_2$$, получает модуль импульс в положительном направлении. Вычислите эволюцию системы во времени.

u = [u0;ux];

x = [0;0;0;0];
for k = 1:N
    y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
    x = A*x + B*u(:,k);
end

Постройте график ускорений. Отклики отдельных масс переключаются.

stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid

Найдите ответ системы на положительное единичное импульсное возбуждение на второй массе.

[b2,a2] = ss2tf(A,B,C,D,2);
y2u1 = filter(b2(1,:),a2,ux);
y2u2 = filter(b2(2,:),a2,ux);

Постройте график результата. Передаточная функция дает тот же ответ, что и модель пространства состояний.

stem(t,[y2u1;y2u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid