Terminal weights квадратичные веса, Wy на y (t + p) и Wu на u (t + p - 1). Переменная p является горизонтом предсказания. Квадратичные веса применяются только в момент времени k + p, например, на заключительном шаге горизонта предсказания. Используя веса терминалов, можно достичь бесконечного управления горизонтом, которое гарантирует стабильность замкнутого цикла. Однако перед использованием весов терминалов необходимо различать проблемы с ограничениями и без них.
Terminal constraints ограничения на y (t + p) и u (t + p - 1), где p является горизонтом предсказания. Можно использовать терминальные ограничения в качестве альтернативного способа достижения устойчивости замкнутой системы путем определения терминальной области.
Примечание
Использовать веса и ограничения клемм можно только в командной строке. Посмотрите setterminal.
Для относительно простого случая без ограничений терминальный вес может заставить прогнозирующий контроллер конечногоризонной модели вести себя так, как если бы его горизонт предсказания был бесконечен. Для примера поведение контроллера MPC идентично линейно-квадратичному регулятору (LQR). Стандартный LQR определяется функцией затрат:
| (1) |
где x - вектор состояний объекта в стандартной форме пространства состояний:
| (2) |
LQR обеспечивает номинальную стабильность, при условии, что матрицы Q и R соответствуют определенным обстоятельствам. Можно преобразовать LQR в конечно-горизонтальную форму следующим образом:
| (3) |
где Qp , терминальная матрица штрафов, является решением уравнения Риккати:
| (4) |
Вы можете получить это решение, используя lqr команда в программном обеспечении Control System Toolbox™.
В целом Qp является полной (симметричной) матрицей. Вы не можете использовать функцию стандартных затрат для реализации функции затрат LQR. Единственное исключение для первого p - 1 шаг, если Q и R являются диагональными матрицами. Кроме того, вы не можете использовать альтернативную функцию затрат, потому что она использует одинаковые веса на каждом шаге горизонта. Таким образом, по определению, вес терминала отличается от веса терминала в шагах 1- p- 1. Вместо этого выполните следующие шаги:
Увеличьте модель (Уравнение 2), чтобы включить взвешенные конечные состояния в качестве вспомогательных выходов:
yaug (<reservedrangesplaceholder3>) = <reservedrangesplaceholder2> <reservedrangesplaceholder1> (<reservedrangesplaceholder0>)
где Qc - факторизация Холесского Qp, такая что Qp = QcTQc.
Задайте вспомогательные выходы yaug как не измеренные, и задайте им нулевой вес.
Задайте вес единицы на yaug на последнем шаге горизонта предсказания используя setterminal.
Чтобы сделать прогнозирующий контроллер модели полностью эквивалентным LQR, используйте контрольный горизонт, равный горизонту предсказания. В приложении без ограничений можно использовать короткий горизонт и все же достичь номинальной устойчивости. Таким образом, горизонт больше не является параметром, который нужно настроить.
Когда приложение включает ограничения, выбор горизонта становится важным. Ограничения, которые обычно смягчаются, представляют факторы, не учитываемые в функции стоимости LQR. Если ограничение становится активным, действие управления отклоняется от поведения LQR (обратной связи о состоянии). Если это поведение не обрабатывается правильно в проектировании контроллера, контроллер может дестабилизировать объект.
Подробное обсуждение проблем проекта ограниченных систем смотрите в [1]. В зависимости от ситуации, вам может потребоваться включить ограничения терминала, чтобы заставить состояния объекта в заданную область в конце горизонта, после чего LQR может управлять сигналами объекта к своим целям. Использовать setterminal добавить такие ограничения в определение контроллера.
Стандартный (конечный горизонт) прогнозирующий контроллер модели обеспечивает сопоставимую эффективность, если горизонт предсказания длинный. Для достижения этой эффективности необходимо настроить другие параметры контроллера (веса, смягчение ограничений и горизонт управления).
Совет
Робастность к неточным предсказаниям модели обычно является более важным фактором, чем номинальная эффективность в приложениях.
[1] Rawlings, J. B., and David Q. Mayne, Model Predictive Control: Theory and Design, Nob Hill Publishing, 2010.