Типичная задача оптимизации

Этот пример показывает, как решить ограниченную нелинейную задачу оптимизации с помощью основанного на проблеме подхода. Пример демонстрирует типовой процесс работы: создайте целевую функцию, создайте ограничения, решите задачу и исследуйте результаты.

Примечание:

Если ваша целевая функция или нелинейные ограничения не состоят из элементарных функций, необходимо преобразовать нелинейные функции в выражения оптимизации с помощью fcn2optimexpr. См. последнюю часть этого примера, Альтернативная формулировка с использованием fcn2optimexpr или Преобразование нелинейной функции в выражение оптимизации.

Для основанного на решателе подхода к этой задаче, смотрите Решить Ограниченную Нелинейную Задачу, Основанную на решателе.

Формулировка задачи: функция Розенбрка

Рассмотрим проблему минимизации функции Розенбрка

над единичным диском, означающим диск радиуса 1 с центром в начале координат. Другими словами, найти $$x$$ что минимизирует функцию $$f(x)$$ над набором $$x_1^2+x_2^2\le 1$$. Эта задача является минимизацией нелинейной функции, удовлетворяющей нелинейному ограничению.

Функция Розенбрка является стандартной тестовой функцией в оптимизации. Это имеет уникальное минимальное значение 0, достигнутое в точке [1,1]. Нахождение минимума является проблемой для некоторых алгоритмов, потому что функция имеет неглубокий минимум в глубоко изогнутом овраге. Решение этой задачи не на точке [1,1] поскольку эта точка не удовлетворяет ограничению.

Этот рисунок показывает два представления функции Розенбрка в единичном диске. Вертикальная ось логарифмизирована; другими словами, график показывает $$\log (1+f(x))$$. Контурные линии находятся под объемной поверхностной диаграммой.

rosenbrock = @(x)100*(x(:,2) - x(:,1).^2).^2 + (1 - x(:,1)).^2; % Vectorized function

figure1 = figure('Position',[1 200 600 300]);
colormap('gray');
axis square;
R = 0:.002:1;
TH = 2*pi*(0:.002:1); 
X = R'*cos(TH);
Y = R'*sin(TH); 
Z = log(1 + rosenbrock([X(:),Y(:)]));
Z = reshape(Z,size(X));

% Create subplot
subplot1 = subplot(1,2,1,'Parent',figure1);
view([124 34]);
grid('on');
hold on;

% Create surface
surf(X,Y,Z,'Parent',subplot1,'LineStyle','none');

% Create contour
contour(X,Y,Z,'Parent',subplot1);

% Create subplot
subplot2 = subplot(1,2,2,'Parent',figure1);
view([234 34]);
grid('on');
hold on

% Create surface
surf(X,Y,Z,'Parent',subplot2,'LineStyle','none');

% Create contour
contour(X,Y,Z,'Parent',subplot2);

% Create textarrow
annotation(figure1,'textarrow',[0.4 0.31],...
    [0.055 0.16],...
    'String',{'Minimum at (0.7864,0.6177)'});

% Create arrow
annotation(figure1,'arrow',[0.59 0.62],...
    [0.065 0.34]);

title("Rosenbrock's Function: Two Views")

hold off

The rosenbrock указатель на функцию вычисляет функцию Розенбрка в любом количестве точек 2-D сразу. Эта векторизация ускоряет графическое изображение функции и может быть полезна в других контекстах для ускорения оценки функции в нескольких точках.

Функция $$f(x)$$ называется целевой функцией. Целевой функцией является функция, которую вы хотите минимизировать. Неравенство $$x_1^2+x_2^2\le 1$$ называется ограничением. Ограничения ограничивают набор $$x$$ над которым решатель ищет минимум. Вы можете иметь любое количество ограничений, которые являются неравенствами или уравнениями.

Определите задачу с помощью переменных оптимизации

Основанный на проблеме подход к оптимизации использует переменные оптимизации, чтобы задать цель и ограничения. Существует два подхода к созданию выражений с использованием этих переменных:

Для этой задачи и целевая функция, и нелинейное ограничение являются полиномами, поэтому можно записать выражения непосредственно в терминах переменных оптимизации. Создайте 2-D переменную оптимизации с именем 'x'.

x = optimvar('x',1,2);

Создайте целевую функцию как полином от переменной оптимизации.

obj = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;

Создайте задачу оптимизации с именем prob имеющий obj как целевая функция.

prob = optimproblem('Objective',obj);

Создайте нелинейное ограничение как полином от переменной оптимизации.

nlcons = x(1)^2 + x(2)^2 <= 1;

Включите нелинейное ограничение в задачу.

prob.Constraints.circlecons = nlcons;

Проверьте проблему.

show(prob)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       x

	minimize :
       ((100 .* (x(2) - x(1).^2).^2) + (1 - x(1)).^2)


	subject to circlecons:
       (x(1).^2 + x(2).^2) <= 1
     

Решите задачу

Чтобы решить задачу оптимизации, позвоните solve. Задача нуждается в начальной точке, которая является структурой, задающей начальное значение переменной оптимизации. Создайте начальную структуру точек x0 имеющий $$x$$-значение [0 0].

x0.x = [0 0];
[sol,fval,exitflag,output] = solve(prob,x0)

Solving problem using fmincon.

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

sol = struct with fields:
    x: [0.7864 0.6177]

fval = 0.0457

exitflag = 
    OptimalSolution

output = struct with fields:
              iterations: 24
               funcCount: 34
         constrviolation: 0
                stepsize: 6.9161e-06
               algorithm: 'interior-point'
           firstorderopt: 2.1625e-08
            cgiterations: 4
                 message: '...'
            bestfeasible: [1x1 struct]
     objectivederivative: "reverse-AD"
    constraintderivative: "closed-form"
                  solver: 'fmincon'

Исследуйте решение

Решение показывает exitflag = OptimalSolution. Этот выходной флаг указывает, что решение является локальным оптимумом. Для получения информации о попытке найти лучшее решение, см., Когда решатель преуспевает.

Выходное сообщение указывает, что решение удовлетворяет ограничениям. Можно проверить, что решение действительно является допустимым, несколькими способами.

infeas = output.constrviolation

infeas = 0

Недопустимость 0 указывает, что решение допустимо.

infeas = infeasibility(nlcons,sol)

infeas = 0

Снова, недопустимость 0 указывает, что решение допустимо.

nx = norm(sol.x)

nx = 1.0000

The output структура дает больше информации о процессе решения, таком как количество итераций (24), решатель (fmincon) и количество вычислений функции (84). Для получения дополнительной информации об этой статистике смотрите Допуски и Критерий остановки.

Альтернативная формулировка с использованием fcn2optimexpr

Для более сложных выражений запишите файлы функции для целевой функции или функции ограничений и преобразуйте их в выражения оптимизации с помощью fcn2optimexpr. Например, базис нелинейной функции ограничения находится в disk.m файл:

type disk

function radsqr = disk(x) 

radsqr = x(1)^2 + x(2)^2;

Преобразуйте этот файл функции в выражение оптимизации.

radsqexpr = fcn2optimexpr(@disk,x);

Кроме того, вы также можете преобразовать rosenbrock указатель на функцию, который был задан в начале стандартной программы графического изображения, в выражение оптимизации.

rosenexpr = fcn2optimexpr(rosenbrock,x);

Создайте задачу оптимизации, используя эти преобразованные выражения оптимизации.

convprob = optimproblem('Objective',rosenexpr,'Constraints',radsqexpr <= 1);

Просмотр новой проблемы.

show(convprob)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       x

	minimize :
       anonymousFunction2(x)

       where:

         anonymousFunction2 = @(x)100*(x(:,2)-x(:,1).^2).^2+(1-x(:,1)).^2;


	subject to :
       disk(x) <= 1
     

Решите новую задачу. Решение по существу то же, что и раньше.

[sol,fval,exitflag,output] = solve(convprob,x0)

Solving problem using fmincon.

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

sol = struct with fields:
    x: [0.7864 0.6177]

fval = 0.0457

exitflag = 
    OptimalSolution

output = struct with fields:
              iterations: 24
               funcCount: 84
         constrviolation: 0
                stepsize: 6.9162e-06
               algorithm: 'interior-point'
           firstorderopt: 2.4373e-08
            cgiterations: 4
                 message: '...'
            bestfeasible: [1x1 struct]
     objectivederivative: "finite-differences"
    constraintderivative: "finite-differences"
                  solver: 'fmincon'

Список поддерживаемых функций см. в Поддерживаемые операции с переменными оптимизации и выражениями.