Уравнения, которые вы можете решить используя PDE Toolbox

Partial Differential Equation Toolbox™ решает скалярные уравнения вида

$m \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} + d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

и собственные уравнения вида

$\begin{array}{l} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = λ d u \\ или \\ - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = λ^{2} m u \end{array}$

Для скалярных PDE существует два выбора граничных условий для каждого ребра или грани:

Дирихлет - На краю или лице решение u удовлетворяет уравнению
hu = r,
где h и r могут быть функциями пространства (x, y, и, в 3-D случае, z), u решения и времени. Часто вы принимаете h = 1 и устанавливаете r на соответствующее значение.
Обобщенные граничные условия Неймана - На краю или грани решение, u удовлетворяет уравнению
$\vec{n} \cdot (c \nabla u) + q u = g$
$\vec{n}$ - внешний модуль нормали. q и g - функции, определенные на ∂ Ω, и могут быть функциями x, y, и, в 3D случае, z, решение u, и, для уравнений с временной зависимостью, время.

Тулбокс также решает системы уравнений вида

$m \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} + d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

и собственные системы собственных значений вида

$\begin{array}{l} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = λ d u \\ или \\ - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = λ^{2} m u \end{array}$

Система PDE с N компонентами N связана PDE со связанными граничными условиями. Скалярные PDE являются такими, которые имеют N = 1, что означает только один УЧП. Системы PDE обычно означают N > 1. Документация иногда относится к системам как к многомерным PDE или к PDE с вектором u решения. Во всех случаях системы PDE имеют одну геометрию и mesh. Это только N, количество уравнений, которые могут варьироваться.

Коэффициенты m, d, c, a и f могут быть функциями местоположения (x, y, и, в 3-D, z), и, кроме собственного значения задач, они также могут быть функциями решения u или его градиента. Для задач с собственным значением коэффициенты не могут зависеть от решения u или его градиент.

Для скалярных уравнений все коэффициенты, кроме c, скаляра. c коэффициентов представляет матрицу 2 на 2 в 2-D геометрии или матрицу 3 на 3 в 3-D геометрии. Для систем N уравнений коэффициенты m, d и a являются N -by- N матрицами, f является вектором N -by-1, и c является 2 N -by-2 N тензором (2-D геометрия) или 3 N -by-3 N тензором (3-D геометрия). Для значения $c \otimes u$ , см. c Коэффициент для sefectCofficients.

Когда и m, и d 0, УЧП является стационарным. Когда m или d ненулевые, задача зависит от времени. Когда любой коэффициент зависит от u решения или его градиента, задача называется нелинейной.

Для систем PDE существуют обобщённые версии граничных условий Дирихле и Неймана:

hu = r представляет матрицу h, умножающую вектор решения u и равную вектору r.
$n \cdot (c \otimes \nabla u) + q u = g$ . Для 2-D систем обозначение $n \cdot (c \otimes \nabla u)$ означает N -by-1 матрицу с (i, 1) - компонент
$\sum_{j = 1}^{N} (\cos (α) c_{i, j, 1, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \cos (α) c_{i, j, 1, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \sin (α) c_{i, j, 2, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \sin (α) c_{i, j, 2, 2} \frac{\partial}{\partial y}) u_{j}$
где вектор внешней нормали контура $n = (\cos (α), \sin (α))$ .
Для 3-D систем обозначение $n \cdot (c \otimes \nabla u)$ означает вектор N -by-1 с (i, 1) - компонент
$\begin{array}{l} \sum_{j = 1}^{N} (\sin (φ) \cos (θ) c_{i, j, 1, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \sin (φ) \cos (θ) c_{i, j, 1, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \sin (φ) \cos (θ) c_{i, j, 1, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \\ + \sum_{j = 1}^{N} (\sin (φ) \sin (θ) c_{i, j, 2, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \sin (φ) \sin (θ) c_{i, j, 2, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \sin (φ) \sin (θ) c_{i, j, 2, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \\ + \sum_{j = 1}^{N} (\cos (θ) c_{i, j, 3, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \cos (θ) c_{i, j, 3, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \cos (θ) c_{i, j, 3, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \end{array}$
где вектор внешней нормали контура $n = (\sin (φ) \cos (θ), \sin (φ) \sin (θ), \cos (φ))$ .
Для каждого ребра или грани существует в общей сложности N граничных условий.

Документация

Уравнения, которые вы можете решить используя PDE Toolbox

Похожие темы

Partial Differential Equation Toolbox производными

Поддержка