c Коэффициент для specifyCofficients

c Коэффициент для `specifyCoefficients`

Обзор коэффициента c

В этом разделе описывается, как записать коэффициент c в уравнениях, таких как

$m \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} + d \frac{\partial u}{\partial t} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

Тема относится к рекомендуемому рабочему процессу для включения коэффициентов в вашу модель с помощью specifyCoefficients.

Для 2-D систем c является тензором с 4 N² элементы. Для 3-D систем c является тензором с 9 N² элементы. Для получения определения элементов тензора смотрите Определение элемента c Tensor Elements. N количество уравнений, см. Уравнения, которые вы можете решить используя PDE Toolbox.

Чтобы записать коэффициент c для включения в модель PDE через specifyCoefficients, дайте c как одно из следующих:

Если c является постоянным, дайте вектор-столбец, представляющую элементы в тензоре.
Если c не является постоянным, задайте указатель на функцию. Функция должна иметь вид
```
ccoeffunction(location,state)
```
solvepde или solvepdeeig передайте location и state структуры, для ccoeffunction. Функция должна вернуть матрицу размера N 1-by- Nr, где:
- N 1 является длиной вектора, представляющего c коэффициент. Существует несколько возможных значений N 1, подробно описанных в Некоторых Векторах C, которые могут быть Короткими. Для 2-D геометрии 1 ≤ N 1 ≤ 4 N²и для 3-D геометрии 1 ≤ N 1 ≤ 9 N².
- Nr - число точек в местоположении, которое проходит решатель. Nr равно длине location.x или любой другой location поле. Функция должна оценивать c в этих точках.

Определение элементов тензора c

Для 2-D систем обозначение $\nabla \cdot (c \otimes \nabla u)$ представляет N -by-1 матрицу с (i, 1) - компонент

$\sum_{j = 1}^{N} (\frac{\partial}{\partial x} c_{i, j, 1, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x} c_{i, j, 1, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial y} c_{i, j, 2, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} c_{i, j, 2, 2} \frac{\partial}{\partial y}) u_{j}$

Для 3-D систем обозначение $\nabla \cdot (c \otimes \nabla u)$ представляет N -by-1 матрицу с (i, 1) - компонент

$\begin{array}{l} \sum_{j = 1}^{N} (\frac{\partial}{\partial x} c_{i, j, 1, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial x} c_{i, j, 1, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial x} c_{i, j, 1, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \\ + \sum_{j = 1}^{N} (\frac{\partial}{\partial y} c_{i, j, 2, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial y} c_{i, j, 2, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial y} c_{i, j, 2, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \\ + \sum_{j = 1}^{N} (\frac{\partial}{\partial z} c_{i, j, 3, 1} \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial z} c_{i, j, 3, 2} \frac{\partial}{\partial y} + \frac{\partial}{\partial z} c_{i, j, 3, 3} \frac{\partial}{\partial z}) u_{j} \end{array}$

Все представления c коэффициент начинается с «уплощения» тензора в матрицу. Для 2-D систем N -by N -by-2-by-2 тензор уплощается к 2 N -by-2 N матрице, где матрица логически является N-by N матрицей блоков 2 на 2.

$(\begin{matrix} c (1, 1, 1, 1) & c (1, 1, 1, 2) & c (1, 2, 1, 1) & c (1, 2, 1, 2) & \dots & c (1, N, 1, 1) & c (1, N, 1, 2) \\ c (1, 1, 2, 1) & c (1, 1, 2, 2) & c (1, 2, 2, 1) & c (1, 2, 2, 2) & \dots & c (1, N, 2, 1) & c (1, N, 2, 2) \\ c (2, 1, 1, 1) & c (2, 1, 1, 2) & c (2, 2, 1, 1) & c (2, 2, 1, 2) & \dots & c (2, N, 1, 1) & c (2, N, 1, 2) \\ c (2, 1, 2, 1) & c (2, 1, 2, 2) & c (2, 2, 2, 1) & c (2, 2, 2, 2) & \dots & c (2, N, 2, 1) & c (2, N, 2, 2) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ c (N, 1, 1, 1) & c (N, 1, 1, 2) & c (N, 2, 1, 1) & c (N, 2, 1, 2) & \dots & c (N, N, 1, 1) & c (N, N, 1, 2) \\ c (N, 1, 2, 1) & c (N, 1, 2, 2) & c (N, 2, 2, 1) & c (N, 2, 2, 2) & \dots & c (N, N, 2, 1) & c (N, N, 2, 2) \end{matrix})$

Для 3-D систем N -by N -by-3-by-3 тензор уплощается к 3 N -by-3 N матрице, где матрица логически является N-by N матрицей блоков 3 на 3.

$(\begin{matrix} c (1, 1, 1, 1) & c (1, 1, 1, 2) & c (1, 1, 1, 3) & c (1, 2, 1, 1) & c (1, 2, 1, 2) & c (1, 2, 1, 3) & \dots & c (1, N, 1, 1) & c (1, N, 1, 2) & c (1, N, 1, 3) \\ c (1, 1, 2, 1) & c (1, 1, 2, 2) & c (1, 1, 2, 3) & c (1, 2, 2, 1) & c (1, 2, 2, 2) & c (1, 2, 2, 3) & \dots & c (1, N, 2, 1) & c (1, N, 2, 2) & c (1, N, 2, 3) \\ c (1, 1, 3, 1) & c (1, 1, 3, 2) & c (1, 1, 3, 3) & c (1, 2, 3, 1) & c (1, 2, 3, 2) & c (1, 2, 3, 3) & \dots & c (1, N, 3, 1) & c (1, N, 3, 2) & c (1, N, 3, 3) \\ c (2, 1, 1, 1) & c (2, 1, 1, 2) & c (2, 1, 1, 3) & c (2, 2, 1, 1) & c (2, 2, 1, 2) & c (2, 2, 1, 3) & \dots & c (2, N, 1, 1) & c (2, N, 1, 2) & c (2, N, 1, 3) \\ c (2, 1, 2, 1) & c (2, 1, 2, 2) & c (2, 1, 2, 3) & c (2, 2, 2, 1) & c (2, 2, 2, 2) & c (2, 2, 2, 3) & \dots & c (2, N, 2, 1) & c (2, N, 2, 2) & c (2, N, 2, 3) \\ c (2, 1, 3, 1) & c (2, 1, 3, 2) & c (2, 1, 3, 3) & c (2, 2, 3, 1) & c (2, 2, 3, 2) & c (2, 2, 3, 3) & \dots & c (2, N, 3, 1) & c (2, N, 3, 2) & c (2, N, 3, 3) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c (N, 1, 1, 1) & c (N, 1, 1, 2) & c (N, 1, 1, 3) & c (N, 2, 1, 1) & c (N, 2, 1, 2) & c (N, 2, 1, 3) & \dots & c (N, N, 1, 1) & c (N, N, 1, 2) & c (N, N, 1, 3) \\ c (N, 1, 2, 1) & c (N, 1, 2, 2) & c (N, 1, 2, 3) & c (N, 2, 2, 1) & c (N, 2, 2, 2) & c (N, 2, 2, 3) & \dots & c (N, N, 2, 1) & c (N, N, 2, 2) & c (N, N, 2, 3) \\ c (N, 1, 3, 1) & c (N, 1, 3, 2) & c (N, 1, 3, 3) & c (N, 2, 3, 1) & c (N, 2, 3, 2) & c (N, 2, 3, 3) & \dots & c (N, N, 3, 1) & c (N, N, 3, 2) & c (N, N, 3, 3) \end{matrix})$

Эти матрицы далее уплощаются в вектор-столбец. Сначала N -by - N матрицы блоков 2 на 2 и 3 на 3 преобразуются в «векторы» блоков 2 на 2 и 3 на 3. Затем блоки превращаются в векторы обычным столбцовым способом.

Вектор коэффициентов c относится к тензору с следующим образом. Для 2-D систем,

$(\begin{matrix} c (1) & c (3) & c (4 N + 1) & c (4 N + 3) & \dots & c (4 N (N - 1) + 1) & c (4 N (N - 1) + 3) \\ c (2) & c (4) & c (4 N + 2) & c (4 N + 4) & \dots & c (4 N (N - 1) + 2) & c (4 N (N - 1) + 4) \\ c (5) & c (7) & c (4 N + 5) & c (4 N + 7) & \dots & c (4 N (N - 1) + 5) & c (4 N (N - 1) + 7) \\ c (6) & c (8) & c (4 N + 6) & c (4 N + 8) & \dots & c (4 N (N - 1) + 6) & c (4 N (N - 1) + 8) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ c (4 N - 3) & c (4 N - 1) & c (8 N - 3) & c (8 N - 1) & \dots & c (4 N^{2} - 3) & c (4 N^{2} - 1) \\ c (4 N - 2) & c (4 N) & c (8 N - 2) & c (8 N) & \dots & c (4 N^{2} - 2) & c (4 N^{2}) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l) находится в строке (4 N ( j - 1) + 4 i + 2 l + k - 6) вектора c.

Для 3-D систем,

$(\begin{matrix} c (1) & c (4) & c (7) & c (9 N + 1) & c (9 N + 4) & c (9 N + 7) & \dots & c (9 N (N - 1) + 1) & c (9 N (N - 1) + 4) & c (9 N (N - 1) + 7) \\ c (2) & c (5) & c (8) & c (9 N + 2) & c (9 N + 5) & c (9 N + 8) & \dots & c (9 N (N - 1) + 2) & c (9 N (N - 1) + 5) & c (9 N (N - 1) + 8) \\ c (3) & c (6) & c (9) & c (9 N + 3) & c (9 N + 6) & c (9 N + 9) & \dots & c (9 N (N - 1) + 3) & c (9 N (N - 1) + 6) & c (9 N (N - 1) + 9) \\ c (10) & c (13) & c (16) & c (9 N + 10) & c (9 N + 13) & c (9 N + 16) & \dots & c (9 N (N - 1) + 10) & c (9 N (N - 1) + 13) & c (9 N (N - 1) + 16) \\ c (11) & c (14) & c (17) & c (9 N + 11) & c (9 N + 14) & c (9 N + 17) & \dots & c (9 N (N - 1) + 11) & c (9 N (N - 1) + 14) & c (9 N (N - 1) + 17) \\ c (12) & c (15) & c (18) & c (9 N + 12) & c (9 N + 15) & c (9 N + 18) & \dots & c (9 N (N - 1) + 12) & c (9 N (N - 1) + 15) & c (9 N (N - 1) + 18) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ c (9 N - 8) & c (9 N - 5) & c (9 N - 2) & c (18 N - 8) & c (18 N - 5) & c (18 N - 2) & \dots & c (9 N^{2} - 8) & c (9 N^{2} - 5) & c (9 N^{2} - 2) \\ c (9 N - 7) & c (9 N - 4) & c (9 N - 1) & c (18 N - 7) & c (18 N - 4) & c (18 N - 1) & \dots & c (9 N^{2} - 7) & c (9 N^{2} - 4) & c (9 N^{2} - 1) \\ c (9 N - 6) & c (9 N - 3) & c (9 N) & c (18 N - 6) & c (18 N - 3) & c (18 N) & \dots & c (9 N^{2} - 6) & c (9 N^{2} - 3) & c (9 N^{2}) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l) находится в строке (9 N ( j - 1) + 9 i + 3 l + k - 12) вектора c.

Некоторые векторы c могут быть короткими

Часто ваш тензор c имеет структуру, такую как симметричная или блочная диагональ. Во многих случаях можно представлять c с помощью меньшего вектора, чем с 4 N² компоненты для 2-D или 9 N² компоненты для 3-D. В следующих разделах приведены возможности.

2-D системы
3-D системы

2-D системы

Скаляр c, 2-D системы
Двухэлементный вектор-столбец c, 2-D систем
Трехэлементный вектор-столбец c, 2-D систем
Четырехэлементный вектор-столбец c, 2-D систем
N-элемент Вектора-столбца c, 2-D системы
2N-Element Вектор-столбец c, 2-D Systems
3N-Element Вектор-столбец c, 2-D Systems
4N-Element Вектор-столбец c, 2-D Systems
2N (2N + 1 )/ 2-Element Вектор-столбец c, 2-D Systems
4 Н²-Элементный вектор-столбец c, 2-D системы

Скаляр c, 2-D системы. Программное обеспечение интерпретирует скаляр c как диагональную матрицу, с c (i, i, 1,1) и c (i, i, 2,2) равный скаляру и всем другим записям 0.

$(\begin{matrix} c & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c \end{matrix})$

Двухэлементный вектор-столбец c, 2-D систем. Программное обеспечение интерпретирует вектор - столбец с двумя элементами c как диагональную матрицу, с c (i, i, 1,1) и c (i, i, 2,2) как эти два записей и все другие записи 0.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (1) & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (2) \end{matrix})$

Трехэлементный вектор-столбец c, 2-D систем. Программа интерпретирует трехэлементный вектор-столбец, c как симметричную блочную диагональную матрицу с c (i, i, 1,1 ) = c (1), c (i, i, 2,2) = c (3) и c (i , i, 1,2) = c (i, i, 2,1) = c (2).

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c (2) & c (3) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (1) & c (2) & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (2) & c (3) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & c (2) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (2) & c (3) \end{matrix})$

Четырехэлементный вектор-столбец c, 2-D систем. Программа интерпретирует четырехэлементный вектор-столбец c как блочную диагональную матрицу.

$(\begin{matrix} c (1) & c (3) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c (2) & c (4) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (1) & c (3) & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (2) & c (4) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & c (3) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (2) & c (4) \end{matrix})$

N-элемент Вектора-столбца c, 2-D системы. Программа интерпретирует вектор-столбец N c как диагональную матрицу.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & c (1) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (2) & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (N) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (N) \end{matrix})$

Внимание

Если N = 2, 3 или 4, векторная форма 2-, 3- или 4-элементного столбца имеет приоритет над формой N -элемент. Для примера, если N = 3, и у вас есть c матрица вида

$(\begin{matrix} c 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c 3 \end{matrix})$

вы не можете использовать N -элемент форму c. Вместо этого необходимо использовать форму 2 N - элемент. Если вы даете c как вектор [c1;c2;c3]программное обеспечение интерпретирует c как 3-элементная форма:

$(\begin{matrix} c 1 & c 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ c 2 & c 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c 1 & c 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c 2 & c 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c 1 & c 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c 2 & c 3 \end{matrix})$

Вместо этого используйте форму 2 N - элемент [c1;c1;c2;c2;c3;c3].

2N-Element Вектор-столбец c, 2-D Systems. Программа интерпретирует вектор N столбцом 2-х c как диагональную матрицу.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (3) & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (4) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (2 N - 1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (2 N) \end{matrix})$

Внимание

Если N = 2, форма с 4 элементами имеет приоритет над формой 2 N -element. Для примера, если ваша c матрица

$(\begin{matrix} c 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c 4 \end{matrix})$

вы не можете дать c как [c1;c2;c3;c4], потому что программа интерпретирует этот вектор как 4-элементную форму

$(\begin{matrix} c 1 & c 3 & 0 & 0 \\ c 2 & c 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c 1 & c 3 \\ 0 & 0 & c 2 & c 4 \end{matrix})$

Вместо этого используйте форму 3 N - элемент [c1;0;c2;c3;0;c4] или форма 4 N - элемент [c1;0;0;c2;c3;0;0;c4].

3N-Element Вектор-столбец c, 2-D Systems. Программа интерпретирует вектор N столбцом 3-х c как симметричную блочную диагональную матрицу.

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c (2) & c (3) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (4) & c (5) & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (5) & c (6) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (3 N - 2) & c (3 N - 1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (3 N - 1) & c (3 N) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l) последовательно (3 i + k + l - 4) вектора c.

4N-Element Вектор-столбец c, 2-D Systems. Программа интерпретирует вектор N столбцом 4-х c как блочную диагональную матрицу.

$(\begin{matrix} c (1) & c (3) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ c (2) & c (4) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (5) & c (7) & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (6) & c (8) & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (4 N - 3) & c (4 N - 1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (4 N - 2) & c (4 N) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l) находится в строке ( 4 i + 2 l + k - 6) вектора c.

2N (2N + 1 )/ 2-Element Вектор-столбец c, 2-D Systems. Программа интерпретирует вектор-столбец с 2 N (2 N + 1 )/2 элементами c как симметричную матрицу. На следующей схеме • означает, что запись симметрична.

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & c (4) & c (6) & \dots & c ((N - 1) (2 N - 1) + 1) & c ((N - 1) (2 N - 1) + 3) \\ • & c (3) & c (5) & c (7) & \dots & c ((N - 1) (2 N - 1) + 2) & c ((N - 1) (2 N - 1) + 4) \\ • & • & c (8) & c (9) & \dots & c ((N - 1) (2 N - 1) + 5) & c ((N - 1) (2 N - 1) + 7) \\ • & • & • & c (10) & \dots & c ((N - 1) (2 N - 1) + 6) & c ((N - 1) (2 N - 1) + 8) \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ \\ • & • & • & • & \dots & c (N (2 N + 1) - 2) & c (N (2 N + 1) - 1) \\ • & • & • & • & \dots & • & c (N (2 N + 1)) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l), для i < j, в строке (2 j² - 3 j + 4 i + 2 l + k - 5) вектора c. Для i = j, коэффициент c (i, j, k, l) последовательно (2 i² + i + l + k - 4) вектора c.

4 Н²- Вектор-столбец элемента c, 2-D системы. Программное обеспечение интерпретирует 4 N²-элементный вектор-столбец, c как матрица.

Коэффициент c (i, j, k, l) находится в строке (4 N ( j - 1) + 4 i + 2 l + k - 6) вектора c.

3-D системы

Скаляр c, 3-D системы
Трехэлементный вектор-столбец c, 3-D систем
Шестиэлементный вектор-столбец c, 3-D систем
Девятиэлементный вектор-столбец c, 3-D систем
N-элемент Вектора-столбца c, 3-D системы
3N-Element Вектор-столбец c, 3-D Systems
6N-Element Вектор-столбец c, 3-D Systems
9N-Element Вектор-столбец c, 3-D Systems
3N (3N + 1 )/ 2-Element Вектор-столбец c, 3-D Systems
9 Н²-Элементный вектор-столбец c, 3-D системы

Скаляр c, 3-D системы. Программное обеспечение интерпретирует скаляр c как диагональную матрицу, с c (i, i, 1,1), c (i, i, 2,2), и c (i, i, 3,3) равный скаляру и всем другим записям 0.

$(\begin{matrix} c & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & c \end{matrix})$

Трехэлементный вектор-столбец c, 3-D систем. Программное обеспечение интерпретирует вектор - столбец с тремя элементами c как диагональную матрицу, с c (i, i, 1,1), c (i, i, 2,2), и c (i, i, 3,3) как эти три записей и все другие записи 0.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (1) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & c (3) \end{matrix})$

Шестиэлементный вектор-столбец c, 3-D систем. Программа интерпретирует шестиэлементный вектор-столбец c как симметричный блок диагонали матрицу с

c (i, i, 1,1) = c (1)
c (i, i, 2,2) = c (3)
c (i, i, 1,2) = c (i, i, 2,1) = c (2)
c (i, i, 1,3) = c (i, i, 3,1) = c (4)
c (i, i, 2,3) = c (i, i, 3,2) = c (5)
c (i, i, 3,3) = c (6).

На следующей схеме • означает, что запись симметрична.

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & c (4) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ • & c (3) & c (5) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ • & • & c (6) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (1) & c (2) & c (4) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & • & c (3) & c (5) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & • & • & c (6) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & c (2) & c (4) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & • & c (3) & c (5) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & • & • & c (6) \end{matrix})$

Девятиэлементный вектор-столбец c, 3-D систем. Программа интерпретирует вектор-столбец с девятью элементами c как блок диагонали матрицу.

$(\begin{matrix} c (1) & c (4) & c (7) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ c (2) & c (5) & c (8) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ c (3) & c (6) & c (9) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (1) & c (4) & c (7) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & c (5) & c (8) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (3) & c (6) & c (9) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (1) & c (4) & c (7) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (2) & c (5) & c (8) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (3) & c (6) & c (3) \end{matrix})$

N-элемент Вектора-столбца c, 3-D системы. Программа интерпретирует вектор-столбец N c как диагональную матрицу.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (1) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (N) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (N) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & c (N) \end{matrix})$

Внимание

Если N = 3, 6 или 9, векторная форма 3-, 6- или 9-элементного столбца имеет приоритет над формой N -элемент. Для примера, если N = 3, и у вас есть c матрица вида

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) \end{matrix})$

вы не можете использовать N -элемент форму c. Если вы даете c как вектор [c1;c2;c3]программное обеспечение интерпретирует c как 3-элементная форма:

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (1) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) \end{matrix})$

Вместо этого используйте одну из следующих форм:

6 N - элемент форма - [c1;0;c1;0;0;c1;c2;0;c2;0;0;c2;c3;0;c3;0;0;c3]
9 N - элемент форма - [c1;0;0;0;c1;0;0;0;c1;c2;0;0;0;c2;0;0;0;c2;c3;0;0;0;c3;0;0;0;c3]

3N-Element Вектор-столбец c, 3-D Systems. Программа интерпретирует вектор N столбцом 3-х c как диагональную матрицу.

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (4) & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (5) & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (6) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (3 N - 2) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & c (3 N - 1) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & c (3 N) \end{matrix})$

Внимание

Если N = 3, форма с 9 элементами имеет приоритет над формой 3 N - элемент. Для примера, если ваша c матрица

$(\begin{matrix} c (1) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & c (2) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & c (3) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (4) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & c (5) & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (6) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (7) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (8) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (9) \end{matrix})$

вы не можете дать c как [c1;c2;c3;c4;c5;c6;c7;c8;c9], потому что программа интерпретирует этот вектор как форму с 9 элементами

$(\begin{matrix} c (1) & c (4) & c (7) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ c (2) & c (5) & c (8) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ c (3) & c (6) & c (9) & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (1) & c (4) & c (7) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (2) & c (5) & c (8) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (3) & c (6) & c (9) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (1) & c (4) & c (7) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (2) & c (5) & c (8) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & c (3) & c (6) & c (3) \end{matrix})$

Вместо этого используйте одну из следующих форм:

6 N - элемент форма - [c1;0;c2;0;0;c3;c4;0;c5;0;0;c6;c7;0;c8;0;0;c9]
9 N - элемент форма - [c1;0;0;0;c2;0;0;0;c3;c4;0;0;0;c5;0;0;0;c6;c7;0;0;0;c8;0;0;0;c9]

6N-Element Вектор-столбец c, 3-D Systems. Программа интерпретирует 6 N элементный вектор-столбец c как симметричную блочную диагональную матрицу. На следующей схеме • означает, что запись симметрична.

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & c (4) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ • & c (3) & c (5) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ • & • & c (6) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (7) & c (8) & c (10) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & • & c (9) & c (11) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & • & • & c (12) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (6 N - 5) & c (6 N - 4) & c (6 N - 2) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & • & c (6 N - 3) & c (6 N - 1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & • & • & c (6 N) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l) находится в строке ( 6 i + k + 1/2 l (l -1) -6) вектора c.

9N-Element Вектор-столбец c, 3-D Systems. Программа интерпретирует вектор-столбец N 9-тью c как блочную диагональную матрицу.

$(\begin{matrix} c (1) & c (4) & c (7) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ c (2) & c (5) & c (8) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ c (3) & c (6) & c (9) & 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (10) & c (13) & c (16) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (11) & c (14) & c (17) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & c (12) & c (15) & c (18) & \dots & 0 & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (9 N - 8) & c (9 N - 5) & c (9 N - 2) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (9 N - 7) & c (9 N - 4) & c (9 N - 1) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \dots & c (9 N - 6) & c (9 N - 3) & c (9 N) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l) находится в строке ( 9 i + 3 l + k - 12) вектора c.

3N (3N + 1 )/ 2-Element Вектор-столбец c, 3-D Systems. Программа интерпретирует вектор-столбец с 3 N (3 N + 1 )/2 элементами c как симметричную матрицу. На следующей схеме • означает, что запись симметрична.

$(\begin{matrix} c (1) & c (2) & c (4) & c (7) & c (10) & c (13) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 1 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 4 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 7 \\ • & c (3) & c (5) & c (8) & c (11) & c (14) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 2 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 5 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 8 \\ • & • & c (6) & c (9) & c (12) & c (15) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 3 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 6 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 9 \\ • & • & • & c (16) & c (17) & c (19) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 10 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 13 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 16 \\ • & • & • & • & c (18) & c (20) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 11 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 14 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 17 \\ • & • & • & • & • & c (21) & \dots & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 12 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 15 & c (3 (N - 1) (3 (N - 1) + 1) / 2 + 18 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ • & • & • & • & • & • & \dots & c (3 N (3 N + 1) / 2 - 5) & c (3 N (3 N + 1) / 2 - 4) & c (3 N (3 N + 1) / 2 - 2) \\ • & • & • & • & • & • & \dots & • & c (3 N (3 N + 1) / 2 - 3) & c (3 N (3 N + 1) / 2 - 1) \\ • & • & • & • & • & • & \dots & • & • & c (3 N (3 N + 1) / 2) \end{matrix})$

Коэффициент c (i, j, k, l), для i < j, находится в строке (9 (j -1) (j -2 )/2 + 6 (j -1 ) + 9 i + 3 l + k - 12) вектора c. Для i = j, коэффициент c (i, j, k, l) является последовательно (9 (i-1) (i-2 ) /2 + 15 (i -1) + 1/2 <reservedrangesplaceholder3> (l-1) + k) вектора c.

9 Н²- Вектор-столбец элемента c, 3-D системы. Программное обеспечение интерпретирует 9 N²-элементный вектор-столбец, c как матрица.

Коэффициент c (i, j, k, l) находится в строке (9 N ( j - 1) + 9 i + 3 l + k - 12) вектора c.

Функциональная форма

Если ваш c коэффициент не является постоянным, представлять его как функцию вида

ccoeffunction(location,state)

solvepde или solvepdeeig передайте location и state структуры, для ccoeffunction. Функция должна вернуть матрицу размера N 1-by- Nr, где:

N 1 - это количество коэффициентов, которые вы передаете решателю. Существует несколько возможных значений N 1, подробно описанных в Некоторых Векторах C, которые могут быть Короткими. Для 2-D геометрии 1 ≤ N 1 ≤ 4 N²и для 3-D геометрии 1 ≤ N 1 ≤ 9 N².
Nr - число точек в местоположении, которое проходит решатель. Nr равно длине location.x или любой другой location поле. Функция должна оценивать c в этих точках.

Передайте коэффициент в specifyCoefficients как указатель на функцию, такой как

specifyCoefficients(model,'c',@ccoeffunction,...)

location - структура с этими полями:
- location.x
- location.y
- location.z
- location.subdomain
Поля x, y, и z представлять x -, y - и z - координаты точек, для которых ваша функция вычисляет значения коэффициентов. The subdomain поле представляет числа поддоменов, которые в настоящее время применяются только к 2-D моделям. Поля местоположения являются векторами-строками.
state - структура с этими полями:
- state.u
- state.ux
- state.uy
- state.uz
- state.time
The state.u поле представляет текущее значение u решения. The state.ux, state.uy, и state.uz области - оценки частных производных решения ( <reservedrangesplaceholder8> / <reservedrangesplaceholder7>, <reservedrangesplaceholder6> / <reservedrangesplaceholder5> и  <reservedrangesplaceholder4> / <reservedrangesplaceholder3>) в соответствующих точках структуры местоположения. Решения и оценки градиента являются N -by Nr матрицами. The state.time поле является скаляром, представляющим время для зависящих от времени моделей.

Например, предположим N = 3, и у вас есть 2-D геометрия. Предположим, что вы c матрица имеет вид

$c = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 8 \\ 1 + x^{2} + y^{2} & \frac{u (2)}{1 + u {(1)}^{2} + u {(3)}^{2}} \\ \frac{u (2)}{1 + u {(1)}^{2} + u {(3)}^{2}} & 1 + x^{2} + y^{2} \\ s_{1} (x, y) & - 1 \\ - 1 & s_{1} (x, y) \end{matrix}]$

где отсутствующие элементы равны нулю. Здесь s 1 (x, y) равен 5 в субдомене 1 и равен 10 в субдомене 2.

Этот c является симметричной, блок-диагональной матрицей с различными коэффициентами в каждом блоке. Поэтому естественно представлять c как 3N-Element вектор-столбец c, 2-D Systems:

Для этой формы подходит следующая функция.

function cmatrix = ccoeffunction(location,state)

n1 = 9;
nr = numel(location.x);
cmatrix = zeros(n1,nr);
cmatrix(1,:) = ones(1,nr);
cmatrix(2,:) = 2*ones(1,nr);
cmatrix(3,:) = 8*ones(1,nr);
cmatrix(4,:) = 1+location.x.^2 + location.y.^2;
cmatrix(5,:) = state.u(2,:)./(1 + state.u(1,:).^2 + state.u(3,:).^2);
cmatrix(6,:) = cmatrix(4,:);
cmatrix(7,:) = 5*location.subdomain;
cmatrix(8,:) = -ones(1,nr);
cmatrix(9,:) = cmatrix(7,:);

Чтобы включить эту функцию в качестве вашей c коэффициент, передайте указатель на функцию @ccoeffunction:

specifyCoefficients(model,'c',@ccoeffunction,...

Документация

c Коэффициент для `specifyCoefficients`

Обзор коэффициента c

Определение элементов тензора c

Некоторые векторы c могут быть короткими

2-D системы

3-D системы

Функциональная форма

Похожие темы

Partial Differential Equation Toolbox производными

Поддержка

Документация

c Коэффициент для specifyCoefficients

Обзор коэффициента c

Определение элементов тензора c

Некоторые векторы c могут быть короткими

2-D системы

3-D системы

Функциональная форма

Похожие темы

Partial Differential Equation Toolbox производными

Поддержка

c Коэффициент для `specifyCoefficients`