Поместите уравнения в форму расхождения

Совпадение коэффициентов для формы расхождения

Как объяснено в Уравнениях, которые вы можете решить Используя УЧП Тулбокса, Partial Differential Equation Toolbox™ решатели адресуют уравнения вида

$- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

или варианты, которые имеют производные относительно времени, или которые имеют собственные значения, или являются системами уравнений. Эти уравнения находятся в divergence form, где начинается дифференциальный оператор $\nabla \cdot$ . Коэффициенты a, c и f являются функциями положения (x, y, z) и, возможно, u решения.

Однако можно иметь уравнения в форме со всеми производными, явно развернутыми, такими как

$(1 + x^{2}) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} - 3 x y \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} + \frac{(1 + y^{2})}{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$

В порядок преобразования этого расширенного уравнения в необходимую форму можно попытаться сопоставить коэффициенты уравнения в форме расхождения с расширенной формой. В форме расхождения, если

$c = (\begin{matrix} c_{1} & c_{3} \\ c_{2} & c_{4} \end{matrix})$

тогда

$\begin{matrix} \nabla \cdot (c \nabla u) = c_{1} u_{x x} + (c_{2} + c_{3}) u_{x y} + c_{4} u_{y y} \\ + (\frac{\partial c_{1}}{\partial x} + \frac{\partial c_{2}}{\partial y}) u_{x} + (\frac{\partial c_{3}}{\partial x} + \frac{\partial c_{4}}{\partial y}) u_{y} \end{matrix}$

Совпадающие коэффициенты в _uxx и _uyy терминах $- \nabla \cdot (c \nabla u)$ к уравнению, вы получаете

$\begin{array}{l} c_{1} = - (1 + x^{2}) \\ c_{4} = - (1 + y^{2}) / 2 \end{array}$

Затем, глядя на коэффициенты _ux и _uy, которые должны быть нулем, вы получаете

$\begin{array}{l} (\frac{\partial c_{1}}{\partial x} + \frac{\partial c_{2}}{\partial y}) = - 2 x + \frac{\partial c_{2}}{\partial y} \\ так \\ c_{2} = 2 x y . \\ (\frac{\partial c_{3}}{\partial x} + \frac{\partial c_{4}}{\partial y}) = \frac{\partial c_{3}}{\partial x} - y \\ так \\ c_{3} = x y \end{array}$

Это завершает преобразование уравнения в форму расхождения

$- \nabla \cdot (c \nabla u) = 0$

Граничные условия могут повлиять на коэффициент c

The c коэффициент появляется в обобщенном условии Неймана

$\vec{n} \cdot (c \nabla u) + q u = g$

Поэтому, когда вы выводите форму расхождения c коэффициент, имейте в виду, что этот коэффициент появляется в другом месте.

Например, рассмотрим 2-D уравнение Пуассона - _uxx - _uyy = f. Очевидно, что можно принять c = 1. Но существуют другие матрицы c, которые приводят к тому же уравнению: любые, которые имеют c ( 2) + c (3 ) = 0.

$\begin{matrix} \nabla \cdot (c \nabla u) = \nabla \cdot ((\begin{matrix} c_{1} & c_{3} \\ c_{2} & c_{4} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{x} \\ u_{y} \end{matrix})) \\ = \frac{\partial}{\partial x} (c_{1} u_{x} + c_{3} u_{y}) + \frac{\partial}{\partial y} (c_{2} u_{x} + c_{4} u_{y}) \\ = c_{1} u_{x x} + c_{4} u_{y y} + (c_{2} + c_{3}) u_{x y} \end{matrix}$

Так что в выборе матрицы c есть свобода. Если у вас есть граничное условие Неймана, такое как

$\vec{n} \cdot (c \nabla u) = 2$

граничное условие зависит от используемой версии c. В этом случае убедитесь, что вы берете версию c, которая совместима как с уравнением, так и с граничным условием.

Преобразование коэффициентов с помощью Symbolic Math Toolbox

Можно преобразовать дифференциальное уравнение с частными производными в необходимую форму с помощью Symbolic Math Toolbox™. Тулбокс предлагает эти две функции, чтобы помочь с преобразованием:

pdeCoefficients (Symbolic Math Toolbox) преобразует УЧП в необходимую форму и извлекает коэффициенты в структуру из чисел двойной точности и указателей на функцию, которая может использоваться specifyCoefficients. The pdeCoefficients функция также может вернуть структуру символьных выражений, в этом случае вам нужно преобразовать эти выражения в двойной формат, прежде чем передавать их в specifyCoefficients.
pdeCoefficientsToDouble (Symbolic Math Toolbox) преобразует символьные коэффициенты УЧП в двойной формат.

Решите Дифференциальное уравнение с частными производными нелинейной теплопередачи (Symbolic Math Toolbox), показов, как функции Symbolic Math Toolbox могут помочь вам преобразовать УЧП в необходимую форму. Нелинейная теплопередача в тонком диске показывает тот же пример без использования Symbolic Math Toolbox.

Некоторые уравнения не могут быть преобразованы

Иногда невозможно найти преобразование в форму расхождения, такую как

$- \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

Для примера рассмотрим уравнение

$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\cos (x + y)}{4} \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y} + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0$

При простом совпадении коэффициентов вы видите, что коэффициенты c 1 и _c 4 равны -1 и -1/2 соответственно. Однако нет c 2 и c 3, которые удовлетворяют оставшимся уравнениям,

$\begin{matrix} c_{2} + c_{3} = \frac{- \cos (x + y)}{4} \\ \frac{\partial c_{1}}{\partial x} + \frac{\partial c_{2}}{\partial y} = \frac{\partial c_{2}}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial c_{3}}{\partial x} + \frac{\partial c_{4}}{\partial y} = \frac{\partial c_{3}}{\partial x} = 0 \end{matrix}$

Документация