Создайте символьный УЧП, который представляет Laplacian переменной u(x,y).

syms u(x,y)
pdeeq = laplacian(u,[x y]) == -3

pdeeq(x, y) = 
$$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)=-3$$

Извлеките коэффициенты УЧП.

coeffs = pdeCoefficients(pdeeq,u)

coeffs = struct with fields:
    a: 0
    c: [4x1 double]
    m: 0
    d: 0
    f: -3

pdeCoefficients преобразует символическое УЧП в скалярное уравнение УЧП вида

и извлекает коэффициенты m, d, c, a, и f в структуру coeffs. Для 2-D систем $$N$$ уравнения, c является тензором с 4$$N^2$$ элементы. Для получения дополнительной информации см. Раздел «Коэффициенты c» для sefectCofficients (Partial Differential Equation Toolbox). В этом случае, $$N=1$$, так что коэффициент c является вектор-строка 4 на 1, которая представляет c$${}_{xx}$$, c$${}_{xy}$$, c$${}_{yx}$$, и c$${}_{yy}$$.

coeffs.c

ans = 4×1

    -1
     0
     0
    -1

Решить 2-D однородное уравнение Лапласа в области, ограниченном модуле кругом. Используйте pdeCoefficients функция для извлечения коэффициентов уравнения Лапласа.

Создайте модель УЧП и включите геометрию.

model = createpde;
geometryFromEdges(model,@circleg);

Постройте график геометрии и отобразите метки ребра для использования в определении граничного условия.

figure
pdegplot(model,'EdgeLabels','on')
axis equal

Создайте символическое выражение pdeeq это представляет уравнение Лапласа.

syms u(x,y)
pdeeq = laplacian(u,[x y])

pdeeq(x, y) = 
$$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)$$

Извлечь коэффициенты уравнения Лапласа.

coeffs = pdeCoefficients(pdeeq,u)

coeffs = struct with fields:
    a: 0
    c: [4x1 double]
    m: 0
    d: 0
    f: 0

Задайте коэффициенты модели PDE.

specifyCoefficients(model,'m',coeffs.m,'d',coeffs.d, ...
    'c',coeffs.c,'a',coeffs.a,'f',coeffs.f);

Примените граничное условие Дирихле $$u(x,y)=x^4+y^4$$ на всех 4 ребрах, образующих круг.

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',1:4,'u',@(region,state) region.x.^4 + region.y.^4);

Сгенерируйте mesh по умолчанию для геометрии.

generateMesh(model);

Решите УЧП и постройте график решения.

results = solvepde(model);
pdeplot(model,'XYData',results.NodalSolution)

Решить 2-D уравнение Пуассона в области, ограниченном модуле кругом. Форма расхождения УЧП имеет неконстантную f коэффициент. Можно решить УЧП, извлечя коэффициенты с помощью pdeCoefficients и определение коэффициентов в модели PDE с помощью specifyCoefficients.

Создайте модель УЧП и включите геометрию.

model = createpde;
geometryFromEdges(model,@circleg);

Создайте символическое выражение pdeeq это представляет уравнение Пуассона.

syms u(x,y)
pdeeq = diff(u,x,x) + diff(u,y,y) - 1/(x^2 + y^2)

pdeeq(x, y) = 
$$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)-\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)$$

Извлеките коэффициенты уравнения.

coeffs = pdeCoefficients(pdeeq,u)

coeffs = struct with fields:
    a: 0
    c: [4x1 double]
    m: 0
    d: 0
    f: @makeCoefficient/coefficientFunction

The f коэффициент не является константой. Отображается следующим @makeCoefficient/coefficientFunction, что указывает на то, что он был возвращен из рабочей области некоторой внутренней функции. Чтобы показать формулу за указателем на функцию, используйте coeffs.f('show').

coeffs.f('show')

ans = 
$$\frac{1}{x^2+y^2}$$

Задайте коэффициенты модели PDE.

specifyCoefficients(model,'m',coeffs.m,'d',coeffs.d, ...
    'c',coeffs.c,'a',coeffs.a,'f',coeffs.f);

Примените граничное условие Дирихле $$u(x,y)=0$$ на всех 4 ребрах, образующих круг.

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',1:4,'u',0);

Сгенерируйте mesh по умолчанию для геометрии.

generateMesh(model);

Решить УЧП. Постройте график узлового решения с помощью опции 'XYData' в pdeplot функция.

results = solvepde(model);
pdeplot(model,'XYData',results.NodalSolution)

Постройте график градиента решения в узловых местоположениях с помощью опции 'FlowData'.

pdeplot(model,'FlowData',[results.XGradients results.YGradients])

Создайте УЧП без формы расхождения.

syms u(x,y)
pdeeq = diff(u,x,x) + cos(x+y)/4*diff(u,x,y) + 1/2*diff(u,y,y)

pdeeq(x, y) = 
$$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)+\frac{\cos \left(x+y\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }u\left(x,y\right)}{4}+\frac{\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\mathrm{ }u\left(x,y\right)}{2}$$

Извлеките его коэффициенты. Когда pdeCoefficients невозможно преобразовать УЧП в форму расхождения

$$m\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}+d\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla \cdot (c\otimes \nabla u)+au=f$$,

оно выдает предупреждающее сообщение, но все еще формирует выход.

coeffs = pdeCoefficients(pdeeq,u)

Warning: After extracting m, d, and c, some gradients remain. Writing all remaining terms to f.

coeffs = struct with fields:
    a: 0
    c: @makeCoefficient/coefficientFunction
    m: 0
    d: 0
    f: @makeCoefficient/coefficientFunction

Чтобы показать указатели на функцию в извлеченных коэффициентах c и f, используйте опцию 'show'. Все оставшиеся градиенты в УЧП записываются в f коэффициент.

coeffs.c('show')

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}-1\\ \frac{1}{8}-\frac{\cos \left(x+y\right)}{4}\\ \frac{1}{8}-\frac{\cos \left(x+y\right)}{4}\\ -\frac{1}{2}\end{array}\right)$$

coeffs.f('show')

ans = 
$$\frac{\sin \left(x+y\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }u\left(x,y\right)}{4}+\frac{\sin \left(x+y\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }u\left(x,y\right)}{4}-\frac{\cos \left(x+y\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }u\left(x,y\right)}{4}+\frac{\frac{\partial }{\partial y}\mathrm{ }\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }u\left(x,y\right)}{4}$$

Поскольку УЧП не имеет формы расхождения, требуемой PDE Toolbox, тулбокс не сможет решить эту УЧП.

Решить зависящее от времени волновое уравнение в области, ограниченном модуле кругом. Волновое уравнение является УЧП со скалярной функцией $$u(t,x,y)$$ что зависит от времени $$t$$ и координаты $$x$$ и $$y$$.

Создайте модель УЧП и включите геометрию.

model = createpde(1);
geometryFromEdges(model,@circleg);

Создайте символьный УЧП, который представляет волновое уравнение.

syms u(t,x,y)
pdeeq = diff(u,t,t) - laplacian(u,[x y])

pdeeq(t, x, y) = 
$$\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }u\left(t,x,y\right)-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\mathrm{ }u\left(t,x,y\right)-\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\mathrm{ }u\left(t,x,y\right)$$

Извлеките коэффициенты УЧП.

coeffs = pdeCoefficients(pdeeq,u)

coeffs = struct with fields:
    a: 0
    c: [4x1 double]
    m: 1
    d: 0
    f: 0

Задайте коэффициенты модели PDE.

specifyCoefficients(model,'m',coeffs.m,'d',coeffs.d, ...
    'c',coeffs.c,'a',coeffs.a,'f',coeffs.f);

Установите начальные условия зависящей от времени задачи на всей геометрии.

setInitialConditions(model,0,1);

Примените граничное условие Дирихле $$u(x,y)=0$$ на всех 4 ребрах, образующих круг.

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',1:4,'u',0);

Сгенерируйте mesh по умолчанию для геометрии.

generateMesh(model);

Найдите решения зависящего от времени УЧП во временной области значений от 0 до 50 с интервалом 2с.

results = solvepde(model,linspace(0,2,50));

Постройте график решения волнового уравнения для каждого 5с интервала.

figure;
for k = 1:10
    subplot(5,2,k);
    pdeplot(model,'XYData',results.NodalSolution(:,k*5))
    axis equal
end  

Решить систему из два уЧП второго порядка. Можно решить систему PDE, извлечя коэффициенты УЧП символически используя pdeCoefficients, преобразование коэффициентов в числа с двойной точностью с помощью pdeCoefficientsToDouble, и определение коэффициентов в модели PDE с помощью specifyCoefficients.

Система PDE представляет собой отклонение зажатого конструктивного диска под равномерной нагрузкой давления. Система PDE с зависимыми переменными $$u_1$$ и $$u_2$$ дается

$$-{\nabla }^2{u}_1+u_2=0$$,

$$-D{\nabla }^2{u}_2=p$$,

где $$D$$ - жесткость изгиба пластины, заданная

$$D=\frac{E{h}^3}{12(1-{\nu }^2)}$$,

и $$E$$ - модуль упругости, $$\nu$$ - коэффициент Пуассона, $$h$$ - толщина пластины, $$u_1$$ - поперечное отклонение пластины, и $$p$$ - нагрузка под давлением.

Создайте модель УЧП для системы двух уравнений.

model = createpde(2);

Создайте квадратную геометрию. Задайте длину стороны квадрата. Затем включите геометрию в модель PDE.

len = 10.0;
gdm = [3 4 0 len len 0 0 0 len len]';
g = decsg(gdm,'S1',('S1')');
geometryFromEdges(model,g);

Задайте значения физических параметров системы. Допустим внешнее давление $$p$$ быть символьной переменной pres который может принять любое значение.

E = 1.0e6;
h_thick = 0.1;
nu = 0.3;
D = E*h_thick^3/(12*(1 - nu^2));
syms pres

Объявите УЧП систему как системные символьные уравнения. Извлечь коэффициенты УЧП и вернуть их в символьной форме.

syms u1(x,y) u2(x,y)
pdeeq = [-laplacian(u1) + u2; -D*laplacian(u2) - pres];
symCoeffs = pdeCoefficients(pdeeq,[u1 u2],'Symbolic',true)

symCoeffs = struct with fields:
    m: [1x1 sym]
    a: [2x2 sym]
    c: [4x4 sym]
    f: [2x1 sym]
    d: [1x1 sym]

Отобразите коэффициенты m, a, c, f, и d.

structfun(@disp,symCoeffs)

$$0$$

$$\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& \frac{25000}{273}& 0\\ 0& 0& 0& \frac{25000}{273}\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{c}0\\ \mathrm{pres}\end{array}\right)$$

$$0$$

Замените значение на pres использование subs функция. Поскольку выходы subs являются символическими объектами, используйте pdeCoefficientsToDouble функция для преобразования коэффициентов в double тип данных, который делает их допустимыми входами для PDE Toolbox.

symCoeffs = subs(symCoeffs,pres,2);
coeffs = pdeCoefficientsToDouble(symCoeffs)

coeffs = struct with fields:
    a: [4x1 double]
    c: [16x1 double]
    m: 0
    d: 0
    f: [2x1 double]

Задайте коэффициенты УЧП для модели УЧП.

specifyCoefficients(model,'m',coeffs.m,'d',coeffs.d, ...
    'c',coeffs.c,'a',coeffs.a,'f',coeffs.f);

Задайте жесткость пружины. Задайте граничные условия путем определения распределенных пружин на всём четырёх ребрах.

k = 1e7;
bOuter = applyBoundaryCondition(model,'neumann','Edge',(1:4), ...
    'g',[0 0],'q',[0 0; k 0]);

Задайте размер сетки геометрии и сгенерируйте mesh для модели УЧП.

hmax = len/20;
generateMesh(model,'Hmax',hmax);

Решить модель.

res = solvepde(model);

Доступ к решению в узловых местоположениях.

u = res.NodalSolution;

Постройте график поперечного отклонения диска.

numNodes = size(model.Mesh.Nodes,2);
figure;
pdeplot(model,'XYData',u(1:numNodes),'contour','on')
title 'Transverse Deflection'

Найдите поперечное отклонение в центре диска.

wMax = min(u(1:numNodes,1))

wMax = -0.2763

Сравните результат с отклонением в центре диска, вычисленным аналитически.

pres = 2;
wMax = -.0138*pres*len^4/(E*h_thick^3)

wMax = -0.2760