Определение пользовательских инерций

Соглашения об инерции ключей

Программное обеспечение Simscape Multibody принимает ряд соглашений в своих определениях инерции. Примите к сведению их, так как они могут повлиять на ваши расчеты инерции, если вы выполняете их вручную. Соглашения могут также нести на том, какая дополнительная обработка, если таковая требуется, ваших данных инерции - например, если она была получена из CAD-приложения или другого стороннего программного обеспечения. В частности:

Продукты инерции определяются с помощью отрицательного соглашения, одно со знаком минус, вставленным, явно, в интегралы масс. Существует альтернативное соглашение, в котором знак минус не сопровождает интегралы масс. Напомним, что продукты инерции являются недиагональными элементами матрицы инерции.
Центр масс задан относительно локальных систем координат блока. В твердых телах с импортированными формами CAD эта система координат обычно принимается приложением CAD при вычислении инерции. Однако можно изменить файл стереометрии так, чтобы эти две системы координат больше не совпадали.

Определения матриц инерции

Матрица инерции захватывает пространственное распределение вещества относительно локальной системы координат, называемой здесь системой инерции разрешения. Эта система координат помечена как I на рисунке. Его оси параллельны осям локальной системы отсчета, сопоставленным с портом системы координат R и соответственно маркированным R. Однако его источник совпадает вместо этого с локальным центром масс.

Матрица инерции содержит моменты и продукты инерции. Моменты инерции занимают диагональ положения матрицы и измеряют дисперсию, или разброс, распределения массы вокруг осей системы координат инерции разрешения. Чем больше разброс вокруг оси, тем больше момент инерции, соответствующий этой оси.

Продукты инерции занимают не диагональные положения и измеряют асимметрию распределения массы относительно плоскостей инерционной системы координат разрешения. Чем больше асимметрия вокруг плоскости, тем больше продукты инерции, сопоставленные с любой осью в этой плоскости. Рисунок иллюстрирует эти отношения.

Уравнения инерции

Матрица симметрична относительно основной диагональной линии: off-диагональные элементы, индексы которых являются взаимозаменяемыми, имеют одно и то же значение. Это ограничение сокращает количество уникальных продуктов инерции от исходных шести (все те, что находятся в не диагональных положениях) до трех, которые вы должны задать в блоке (тех, которые с уникальной комбинацией индексов):

$I_{y z} = I_{z y}$
$I_{z x} = I_{x z}$
$I_{x y} = I_{y x}$

Продукты инерции, I _ij, определяются с помощью распространенной, отрицательной, конвенции, принятой рядом применений CAD:

$I_{y z} = - \int_{V} (y z) ρ d v$
$I_{z x} = - \int_{V} (z x) ρ d v$
$I_{x y} = - \int_{V} (x y) ρ d v$

где ρ - массовая плотность, v - объем, а V - общий объем интегрирования. x, y и z координаты являются Декартовыми компонентами вектора расстояния, охватывающего от центра масс до бесконечно малого элемента массы ρ d v. Моменты инерции, _I ii, заданы аналогично:

$I_{x x} = \int_{V} (y^{2} + z^{2}) ρ d v$
$I_{y y} = \int_{V} (z^{2} + x^{2}) ρ d v$
$I_{z z} = \int_{V} (x^{2} + y^{2}) ρ d v$

При применении к простым формам, такие как цилиндрические интерпретаторы и прямоугольные лучи, эти определения дают начало хорошо известным алгебраическим уравнениям, которые часто публикуются в стандартных инженерных таблицах. Можно ссылаться на такие таблицы при явном указании параметров инерции. Полная матрица инерции, согласно соглашению Simscape Multibody, является:

$I = (\begin{matrix} I_{x x} & I_{x y} & I_{x z} \\ I_{y x} & I_{y y} & I_{y z} \\ I_{z x} & I_{z y} & I_{z z} \end{matrix})$

Главные оси инерции

Моменты инерции по определению являются положительными числами. Однако продукты инерции могут быть либо положительными, либо отрицательными, либо нулевыми. Они равны нулю, если оси системы координат разрешения инерции совпадают с главными осями инерции. Моменты инерции затем называются главными моментами инерции, а матрица инерции называется диагональной:

$I = (\begin{matrix} I_{x x} & 0 & 0 \\ 0 & I_{y y} & 0 \\ 0 & 0 & I_{z z} \end{matrix})$

Количество нетривиальных элементов матрицы инерции, которые вы должны задать, в этом случае сокращается до трех - главных моментов инерции. По этой причине главные оси инерции могут быть удобной системой координат, в которой можно задать элементы матрицы инерции. Это система координат инерции разрешения, принятая в высоко симметричных предустановленных формах твердых блоков.

То же самое, однако, в целом не верно для Extruded Solid или Revolved Solid твердых форм, и для импортированных через файлы STEP или STL. В Extruded Solid и Revolved Solid формах размещение системы координат тесно зависит от того, как вы задаете геометрические сечения. В импортированных формах это зависит от того, как относительно локальной нулевой координаты были смоделированы геометрии детали.

Как лучшая практика, всегда рассматривайте размещение системы координат разрешения инерции при явном указании элементов матрицы инерции, особенно при использовании твердого блока. Положение системы координат всегда является положением центра масс, но ее ориентация относительна стереометрия, при использовании твердого блока, не всегда может совпадать с основными осями инерции.

Попробовать: Задать `Custom` Инерция

Рассмотрим прямоугольную балку, показанную на рисунке. Определите его массу, центр масс, моменты инерции и продуктов инерции. Явным образом задайте вычисленные параметры в блоке Brick Solid с помощью Custom параметризация инерции.

Материал и размерности. Предположим, что конструкция из алюминия и соответствующей массовой плотности 0,09754 фунт/дюйм ^ 3. Используйте размерности балки:

Ширина x = 3 дюйма
Высота y = 4 дюйма
Длина z = 10 дюймов

Подготовка модели балки. Добавьте блок Brick Solid к модели Simscape Multibody. В Brick Solid диалогового окна блока задайте геометрию балки: установите параметр Geometry > Dimensions равным [3 4 10] in. Этот массив соответствует размерностям балки [x y z].

Тип геометрии влияет на размещение локальной опорной системы координат (R) и, следовательно, сами вычисления инерции. На панели инструментов визуализации нажмите кнопку Toggle visibility of frames. Система координат R расположена в центре масс, и ее оси параллельны размерностям балки (x, y и z).

Задайте параметры инерции. Вычислите параметры инерции из плотности и размерностей балки. Затем задайте вычисленные значения в Inertia разделе Brick Solid параметров блоков:

Mass - Продукт массовой плотности (ρ) и объема (x· y· z):
$m = ρ (x \cdot y \cdot z) = 11.7 фунт$
Center of Mass - координаты Centroid относительно локальной системы координат (R):
$[\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}] = [0, 0, 0]$
Moments of Inertia - Из стандартных выражений относительно систему координат инерции разрешения (I):
$[I_{x x}, I_{y y}, I_{z z}] = \frac{m}{12} [(y^{2} + z^{2}), (z^{2} + x^{2}), (x^{2} + y^{2})] = [113.1, 106.3, 24.4] lbm * в ^ 2$
Products of Inertia - От симметрии относительно систему координат инерции разрешения (I):
$[I_{y z}, I_{z x}, I_{x y}] = [0, 0, 0]$

CAD как источник данных инерции

Приложения CAD часто предоставляют данные инерции для моделей детали. Примеры включают программное обеспечение SolidWorks, через инструмент «Массовые свойства» и программное обеспечение Onshape, через его версию того же инструмента. Вы можете ссылаться на эти данные и задавать их вручную в среде Simscape Multibody.

Соглашения об альтернативной инерции

Некоторые приложения CAD, SolidWorks среди них, используют альтернативное соглашение об инерции, чтобы задать элементы матрицы инерции. Эта конвенция удаляет знак минуса из определений произведения инерции. Например, I _yz продуктом инерции становится:

$I_{y z} = \int_{V} (y z) ρ d v$

Если ваш источник данных инерции принимает это соглашение, вы должны явно отменить продукты инерции, прежде чем задавать их значения в среде Simscape Multibody. В качестве примера рассмотрим матрицу инерции SolidWorks, заданную как:

$I = (\begin{matrix} I_{x x} & I_{x y} & I_{x z} \\ I_{y x} & I_{y y} & I_{y z} \\ I_{z x} & I_{z y} & I_{z z} \end{matrix})$

Чтобы правильно задать элементы матрицы в среде Simscape Multibody, необходимо обработать их следующим образом:

$I = (\begin{matrix} I_{x x} & - I_{x y} & - I_{x z} \\ - I_{y x} & I_{y y} & - I_{y z} \\ - I_{z x} & - I_{z y} & I_{z z} \end{matrix})$

Импорт CAD как альтернатива

Вместо ссылки на данные инерции в модели сборки CAD можно импортировать эту модель в окружение Simscape Multibody. Импорт CAD основан на функции smimport, которая анализирует файл описания мультитела в формате XML и генерирует эквивалентную блок-схему со всеми предварительно заданными параметрами блоков - включенными параметрами инерции.

Перед импортом необходимо экспортировать модель в допустимом формате XML, что соответствует XML-схеме Simscape Multibody. Эта опция подходит только при наличии полной модели сборки CAD. Для отдельных деталей CAD используйте функцию импорта файлов STEP твердого блока и установите параметр Inertia > Type равным Calculate from Geometry.

Для получения дополнительной информации см. раздел Преобразование CAD.

Попробуйте: Ссылка на модель SolidWorks

Определите параметры инерции для формы L-образного луча, показанной на рисунке. Затем задайте их явным образом в твердом блоке путем установки параметризации инерции равной Custom. Используйте данные о массовых свойствах, представленные в этом примере, для модели балки SolidWorks.

Откройте Твердую модель (Solid Model). В командной строке MATLAB введите smdoc_lbeam_inertia. Простая модель открывается блоком File Solid, представляющим твердое тело L-образной балки. Откройте блок File Solid и исследуйте его параметры Geometry. Геометрия балки импортируется из файла STEP, ранее экспортированного из модели SolidWorks. Эта геометрия показана на рисунке.

На панели визуализации нажмите кнопку Toggle visibility of frames. На панели визуализации показаны две системы координат, одна из которых маркирована R, а другая I.

Система координат R является локальной системой координат твердого тела. Это совпадает с тем, что пользователи SolidWorks называют выходной системой координат модели детали. Эта система координат расположена в нижнем углу L-образной формы на одном из двух продольных концов балки. Необходимо задать центр масс относительно этой системы координат.

Система координат I является пользовательской твердой системой координат, включенной для вашего удобства. Эта система координат совпадает с инерционной системой координат разрешения. Его источник находится в центре масс, а оси параллельны осям локальных систем координат. Необходимо задать моменты и продукты инерции относительно этой системы координат.

Проверьте данные SolidWork. Модель SolidWorks обеспечивает для детали L-образной балки следующие данные о массовых свойствах:

Mass properties of l_beam_solid
     Configuration: Default
     Coordinate system: -- default --

Density = 0.10 pounds per cubic inch
Mass = 2.19 pounds
Volume = 22.41 cubic inches
Surface area = 101.91 square inches

Center of mass: ( inches )
	X = 0.58
	Y = 1.08
	Z = 5.00

Principal axes of inertia and principal moments of inertia: 
( pounds * square inches )
Taken at the center of mass.
	 Ix = ( 0.00,  0.00,  1.00)   	Px = 2.49
	 Iy = ( 0.38, -0.92,  0.00)   	Py = 18.65
	 Iz = ( 0.92,  0.38,  0.00)   	Pz = 20.35

Moments of inertia: ( pounds * square inches )
Taken at the center of mass and aligned with 
the output coordinate system.
	Lxx = 20.10	Lxy = -0.60	Lxz = 0.00
	Lyx = -0.60	Lyy = 18.89	Lyz = 0.00
	Lzx = 0.00	Lzy = 0.00	Lzz = 2.49

Moments of inertia: ( pounds * square inches )
Taken at the output coordinate system.
	Ixx = 77.40	Ixy = 0.76	Ixz = 6.33
	Iyx = 0.76	Iyy = 74.39	Iyz = 11.79
	Izx = 6.33	Izy = 11.79	Izz = 5.76

Данные включают координаты центра масс относительно «выходной системы координат». Эта система координат совпадает с локальной системой отсчета (R) соответствующего твердого тела Simscape Multibody.

Данные также включают матрицу с моментами и продуктами инерции, «взятыми в центре масс и выровненными по выходной системе координат». Эта система координат совпадает с инерционной системой разрешения (I) твердого тела Simscape Multibody.

Задайте параметры инерции. Разверните раздел параметров Inertia диалогового окна File Solid блока. Затем измените параметризацию инерции, задав значение параметра Inertia > Type Custom. Для задания появляется полный набор параметров инерции.

Установите параметр Mass равным 2.19 lb. Это масса, соответствующая плотности алюминия.
Установите параметр Center of Mass равным [0.58 1.08 5.00] in. Это [x y z] координаты центра масс, показанные в отчете SolidWorks.
Установите параметр Moments of Inertia равным [20.10 18.89 2.49] lbm*in^2. Это [Lxx Lyy Lzz] моменты инерции, показанные в отчете SolidWorks.
Установите параметр Products of Inertia равным [0 0 0.6] lbm*in^2. Это отрицательные [Lyz Lzx Lxy] продукты инерции, показанные в отчете SolidWorks.

Автоматическое вычисление инерции

Твердые блоки обеспечивают опцию автоматического вычисления большинства параметров инерции при заданной стереометрии. Эта опция, доступная из выпадающего списка Inertia > Type и по умолчанию on, требует, чтобы вы задавали только параметры геометрии и массу или массовую плотность.

Блок использует геометрию и параметры массы, чтобы вычислить оставшиеся параметры инерции - центр масс, моменты инерции и продуктов инерции - относительно соответствующей системы координат ссылки. Вычисления основаны на допущении, что массовая плотность является постоянной и равномерной.

Можно просмотреть результаты вычисления внутри твердого блока в расширяемом сечении с именем Display Inertia. Центр масс задается относительно локальной системой координат (R), а моменты и продукты инерции относительна система координат инерции разрешения (I). Это те же системы координат, относительно которых можно задать эти параметры.

Попробуйте: отобразите вычисленные результаты инерции

Сконфигурируйте File Solid блок smdoc_lbeam_inertia модель, чтобы вычислить параметры инерции из стереометрии и ее массовой плотности. Затем просмотрите вычисленные параметры.

В диалоговом окне блока File Solid переключите параметр Inertia > Type на Calculate from Geometry. Под параметром Density появляется Display Inertia узел.
Установите параметр Density равным 0.09754 lbm/in^2. Это значение соответствует твердому элементу алюминиевой конструкции, и это то же самое, что принято в данных SolidWorks, представленных в Review the SolidWorks Data.
Разверните узел Display Inertia и нажмите кнопку Update. Параметры инерции под Display Inertia заполняются вычисленными значениями. Сравните их со значениями, представленными в данных о массовых свойствах SolidWorks.

Документация