Запас диска как область значений допустимых изменений усиления и фазы

Вычислите поля диска цикла обратной связи SISO с откликом без разомкнутого контура L.

L = tf(25,[1 10 10 10]);
DM = diskmargin(L);

Дисковые поля определяют область значений «безопасных» изменений усиления и фазы, для которых цикл обратной связи остается стабильным. The diskmarginplot команда позволяет вам визуализировать эту область значений как область в плоскости фазы усиления. Пока изменения коэффициента усиления и фазы остаются внутри затененной области, система с обратной связью feedback(L,1) остается стабильным.

diskmarginplot(DM.GainMargin)

diskmargin моделирует изменения усиления и фазы как комплексно-значимый мультипликативный коэффициент F применяется к номинальному циклу передачи L. Набор F значения являются диском, пересечение которого с действительной осью является интервалом DM.GainMargin. (См. Анализ устойчивости с использованием полей диска.) diskmarginplot можно также построить график F диск.

diskmarginplot(DM.GainMargin,'disk')

diskmargin также вычисляет наименьшее изменение, который дестабилизирует цикл обратной связи, возвращаемый в поле DM.WorstPerturbation. Это изменение возвращается как модель пространства состояний, которая реализует дестабилизирующий коэффициент усиления и изменение фазы. Когда вы умножаете L на это возмущение, получившаяся система с обратной связью имеет неразделенный полюс на частоте, возвращенной в DM.Frequency.

WC = DM.WorstPerturbation;
CL = feedback(L*WC,1);
damp(CL)

                                                                       
         Pole              Damping       Frequency      Time Constant  
                                       (rad/seconds)      (seconds)    
                                                                       
 -1.49e+00 + 7.93e-01i     8.83e-01       1.69e+00         6.70e-01    
 -1.49e+00 - 7.93e-01i     8.83e-01       1.69e+00         6.70e-01    
  3.89e-16 + 1.96e+00i    -1.99e-16       1.96e+00        -2.57e+15    
  3.89e-16 - 1.96e+00i    -1.99e-16       1.96e+00        -2.57e+15    
 -4.19e+00                 1.00e+00       4.19e+00         2.39e-01    
 -9.46e+00                 1.00e+00       9.46e+00         1.06e-01    

Проверьте, что изменение усиления и фазы дестабилизирующего возмущения помечает краевую точку для области значений «безопасного» усиления и изменений фазы. Для этого вычислите коэффициент усиления и фазу WC при DM.Frequency.

hWC = freqresp(WC,DM.Frequency);

GM = mag2db(abs(hWC))

GM = 1.7832

PM = 180/pi * abs(angle(hWC))

PM = 23.1695

diskmarginplot(DM.GainMargin)
line(GM,PM,'Color','k','Marker','+','MarkerSize',8,'LineWidth',3,'HandleVisibility','off')
text(GM+.1,PM+1,sprintf('Gain and phase of WC\n      at f = %.5g',DM.Frequency))

Интерпретация Nyquist

Тот оператор, что возмущение WC управляет системой с обратной связью нестабильно, эквивалентно утверждению, что Годограф Найквиста L*WC касается критической точки на частоте DM.Frequency. (См. Анализ устойчивости с использованием полей диска.) Следующий график показывает Годографы Найквиста L и L*WC. Кресты на каждом графике помечают ответ на DM.Frequencyи подтвердите, что ответ L*WC -1 на этой частоте.

figure(2), clf
hL = freqresp(L,DM.Frequency);
nyquist(L,L*WC), title('Open-loop response')
legend('L','L*WC')
axis([-2 2 -2 2])
line(-1,0,'Color','r','Marker','+','MarkerSize',8,...
          'LineWidth',3,'HandleVisibility','off')
line(real(hL),imag(hL),'Color','k','Marker','+',...
          'MarkerSize',8,'LineWidth',3,'HandleVisibility','off')
text(real(hL)+0.05,imag(hL)-0.2,sprintf('f = %.5g',DM.Frequency))
line([real(hL) -1],[imag(hL) 0],'Color','k','LineStyle',':',...
          'LineWidth',2,'HandleVisibility','off')

Возмущение WC динамичен, и его годограф Найквиста обнимает контур диска F значения. Точка контакта является частотой DM.Frequency где поле диска самое слабое. Следующий график использует diskmarginplot отобразить диск допустимых изменений усиления и фазы на плоскости Найквиста, наложив ответ возмущения WC. Черный крест снова помечает ответ на DM.Frequency.

hWC = freqresp(WC,DM.Frequency);

diskmarginplot(DM.GainMargin,'disk')
hold on
nyquist(WC)
hold off
axis([0.6 1.6 -0.6 0.6])
line(real(hWC),imag(hWC),'Color','k','Marker','+',...
   'MarkerSize',8,'LineWidth',3,'HandleVisibility','off')
text(real(hWC)+0.02,imag(hWC)-0.05,sprintf('f = %.5g',DM.Frequency))

Эквивалентно, эта частота находится где Годограф Найквиста L касается области исключения, связанной с полями диска DM. Следующий график показывает диск изменений с годографом Найквиста of L. Черный крест помечает ответ L при DM.Frequency.

diskmarginplot(DM.GainMargin,'nyquist')
hold on
nyquist(L)
hold off
axis([-2 0 -1 1])
line(real(hL),-imag(hL),'Color','k','Marker','+',...
        'MarkerSize',8,'LineWidth',3,'HandleVisibility','off')
text(real(hL)+0.05,-imag(hL)+0.05,sprintf('f = %.5g',DM.Frequency))

Таким образом, диск F представляет область в плоскости Найквиста, которую представляет ответ L невозможно ввести при сохранении устойчивости замкнутого контура. На критической частоте DM.Frequency, частота, при которой коэффициент усиления и запасов по фазе наименьшие, Годограф Найквиста L просто прикасается к диску.