Периодограмма не является последовательным оценщиком истинной степени спектральной плотности (PSD) широкополосного стационарного процесса. Чтобы уменьшить изменчивость в периодограмме - и, таким образом, получить последовательную оценку PSD - метод многозначника усредняет модифицированные периодограммы, полученные с использованием семейства взаимно ортогональных окон или tapers. В дополнение к взаимной ортогональности, суживатели также имеют оптимальные частотно-временные свойства концентрации. Как ортогональность, так и частотно-временная концентрация сужающихся элементов имеют решающее значение для успеха метода многозадачности. Смотрите дискретные пролатные сфероидальные (слеповские) последовательности для краткого описания слеповских последовательностей, используемых в многозначном методе Томсона.

Метод multitaper использует K модифицированные периодограммы, каждый из которых получен с использованием различной последовательности Слепова в качестве окна. Давайте

обозначает модифицированную периодограмму, полученную с k-й последовательностью Слепова, _gk (n). В самой простой форме метод многозадачности просто усредняет K модифицированные периодограммы, получая оценку PSD многозадачности:

Подход Thomson multitaper, введенный в [4], напоминает метод среднего сегмента Welch с перекрытием, так как оба среднего значения по приблизительно некоррелированным оценкам PSD. Однако эти два подхода различаются тем, как они дают эти некоррелированные оценки PSD. Метод мультитапера использует весь сигнал в каждой измененной периодограмме. Ортогональность слеповских сужений украшает различные модифицированные периодограммы. Подход Уэлча использует сегменты сигнала в каждой модифицированной периодограмме, и сегментация декоррелирует различные модифицированные периодограммы.

Уравнение для S^(MT)(f) соответствует 'unity' опция в pmtm. Однако, как объяснено в дискретных сфероидальных (слеповских) последовательностях, слеповские последовательности не обладают равной концентрацией энергии в интересующей частотной полосе. Чем выше порядок последовательности Слепова, тем меньше концентрации энергии последовательности в полосе [- W, W] с концентрацией, заданной собственным значением. Следовательно, может быть полезным использование собственных значений для взвешивания K модифицированных периодограмм перед усреднением. Это соответствует 'eigen' опция в pmtm.

Использование собственных значений последовательности для получения средневзвешенного среднего значения модифицированных периодограмм учитывает свойства частотной концентрации слеповских последовательностей. Однако это не учитывает взаимодействие между спектральной плотностью степени случайного процесса и частотной концентрацией слеповских последовательностей. В частности, частотные области, где случайный процесс имеет небольшую степень, менее надежно оцениваются в модифицированных периодограммах с использованием последовательностей Слепова более высокого порядка. Это аргументирует для частотно-зависимого адаптивного процесса, который учитывает не только частотную концентрацию последовательности Слепова, но и распределение степени во временных рядах. Это адаптивное взвешивание соответствует 'adapt' опция в pmtm и является значением по умолчанию для вычисления оценки многозначности.

Выведение последовательностей Слепова происходит из задачи концентрации дискретного времени/непрерывной частоты. Для всех ℓ² последовательности, ограниченные индексом 0, 1,..., N-1, задача ищет последовательность, имеющую максимальную концентрацию своей энергии в частотном диапазоне [- W, W] с |<reservedrangesplaceholder1>| < 1/2В t.

Это эквивалентно нахождению собственных значений и соответствующих собственных векторов N -by N самосопряженного положительного полусреднего оператора. Поэтому собственные значения являются действительными и неотрицательными, а собственные векторы, соответствующие отдельным собственным значениям, являются взаимно ортогональными. В этой конкретной задаче собственные значения ограничены 1, и собственное значение является мерой энергетической концентрации последовательности в частотном интервале [- W, W].

Задача собственного значения задается как

Последовательность DPSS нулевого порядка, g 0, является собственным вектором, соответствующим наибольшему собственному значению. Последовательность DPSS первого порядка, _g 1, является собственным вектором, соответствующим следующему по величине собственному значению, и ортогональна последовательности нулевого порядка. Последовательность DPSS второго порядка, g 2, является собственным вектором, соответствующим третьему по величине собственному значению и ортогональна двум последовательностям DPSS нижнего порядка. Поскольку оператор N -by - N, существует N собственных вектора. Однако для заданной длины последовательности N и заданной ширины полосы [- W, W] существует приблизительно 2 NW - 1 последовательностей DPSS с собственными значениями, очень близкими к единице. Использование nw для задания NW.

Синусоидальные сужения, альтернатива слеповским последовательностям, предложенная в [3], заданы как

В отличие от последовательностей Слепова, синусоидальные сужения могут быть вычислены непосредственно, без необходимости настраивать и решать собственное значение уравнение. Это значительно быстрее вычисляет синусоидальные сужения. Синусоидальные конусы имеют спектральную концентрацию, близкую к концентрации слеповых последовательностей, но не нуждаются в дополнительных параметрах для определения спектральной полосы. Шумовая полоса оценки PSD, вычисленная с помощью синусоидальных сужений, может быть скорректирована локально путем изменения количества сужений, используя m.

Сгенерируйте первые пять сужений Слепова, соответствующих продукту time-halfbandwidth из 3. Задайте длину конуса 1000.

N = 1000;
nw = 3;
ns = 2*(nw)-1;

tprs = dpss(N,nw,ns);
lbs = "Slepian";

Сгенерируйте первые пять синусоидальных сужений.

n = 1:N;
k = 1:ns;

tprs(:,:,2) = sqrt(2/(N+1))*sin(pi*n'*k/(N+1));
lbs(2) = "Sine";

Постройте график двух наборов сужений.

for kj = 1:2
    subplot(2,1,kj)
    plot(tprs(:,:,kj))
    title(lbs(kj))
    legend(append('k = ',string(k+kj-2)), ...
        'Orientation','horizontal','Location','south')
    legend('boxoff')
    ylim([-0.09 0.07])
end