Выберите между Аппроксимирование Кривыми и Distribution Fitting

Аппроксимирования кривыми и подбор кривой распределения являются различными типами анализа данных.

Аппроксимирование кривыми

В следующих экспериментальных данных переменная предиктора time, время после приема препарата. Переменная отклика conc, концентрацию препарата в кровотоке. Предположим, что только данные отклика conc затронуто экспериментальной ошибкой.

time = [ 0.1   0.1   0.3   0.3   1.3   1.7   2.1   2.6   3.9   3.9 ...
         5.1   5.6   6.2   6.4   7.7   8.1   8.2   8.9   9.0   9.5 ...
         9.6  10.2  10.3  10.8  11.2  11.2  11.2  11.7  12.1  12.3 ...
        12.3  13.1  13.2  13.4  13.7  14.0  14.3  15.4  16.1  16.1 ...
        16.4  16.4  16.7  16.7  17.5  17.6  18.1  18.5  19.3  19.7]';
conc = [0.01  0.08  0.13  0.16  0.55  0.90  1.11  1.62  1.79  1.59 ...
        1.83  1.68  2.09  2.17  2.66  2.08  2.26  1.65  1.70  2.39 ...
        2.08  2.02  1.65  1.96  1.91  1.30  1.62  1.57  1.32  1.56 ...
        1.36  1.05  1.29  1.32  1.20  1.10  0.88  0.63  0.69  0.69 ...
        0.49  0.53  0.42  0.48  0.41  0.27  0.36  0.33  0.17  0.20]';

Предположим, вы хотите смоделировать концентрацию крови как функцию времени. График conc против time.

plot(time,conc,'o');
xlabel('Time');
ylabel('Blood Concentration');

Предположим, что conc следует двухпараметрической кривой Вейбула как функция от time. Кривая Вейбула имеет вид и параметры

где $$a$$ - горизонтальное масштабирование, $$b$$ является параметром формы, и $$c$$ - вертикальное масштабирование.

Подгонка модели Вейбула с помощью нелинейных методов наименьших квадратов.

modelFun =  @(p,x) p(3) .* (x./p(1)).^(p(2)-1) .* exp(-(x./p(1)).^p(2));
startingVals = [10 2 5];
nlModel = fitnlm(time,conc,modelFun,startingVals);

Постройте график кривой Вейбула на данных.

xgrid = linspace(0,20,100)';
line(xgrid,predict(nlModel,xgrid),'Color','r');

Подобранная модель Weibull проблематична. fitnlm принимает, что экспериментальные ошибки являются аддитивными и происходят из симметричного распределения с постоянным отклонением. Однако график поля точек показывает, что отклонение ошибки пропорционально высоте кривой. Кроме того, аддитивные, симметричные ошибки подразумевают, что возможно отрицательное измерение концентрации в крови.

Более реалистичным предположением является то, что мультипликативные ошибки симметричны по шкале журнала. В соответствии с этим предположением подгоните кривую Вейбула к данным, взяв логарифмический журнал обеих сторон. Используйте нелинейные методы наименьших квадратов, чтобы соответствовать кривой:

nlModel2 = fitnlm(time,log(conc),@(p,x) log(modelFun(p,x)),startingVals);

Добавьте новую кривую к существующему графику.

line(xgrid,exp(predict(nlModel2,xgrid)),'Color',[0 .5 0],'LineStyle','--');
legend({'Raw Data','Additive Errors Model','Multiplicative Errors Model'});

Объект модели nlModel2 содержит оценки точности. Лучшая практика состоит в том, чтобы проверить качество подгонки. Для примера сделайте невязку графики в журнал масштабе, чтобы проверить предположение о постоянных отклонениях для мультипликативных ошибок.

В этом примере использование модели мультипликативных ошибок мало влияет на предсказания модели. Для примера, где тип модели имеет больше влияния, см. «Подводные камни в подборе кривой нелинейных моделей путем преобразования в линейность».

Функции для Аппроксимирования кривыми

Распределительный подбор кривой

Предположим, что вы хотите смоделировать распределение времени жизни электрических компонентов. Переменная life измеряет время до отказа для 50 одинаковых электрических компонентов.

life = [ 6.2 16.1 16.3 19.0 12.2  8.1  8.8  5.9  7.3  8.2 ...
        16.1 12.8  9.8 11.3  5.1 10.8  6.7  1.2  8.3  2.3 ...
         4.3  2.9 14.8  4.6  3.1 13.6 14.5  5.2  5.7  6.5 ...
         5.3  6.4  3.5 11.4  9.3 12.4 18.3 15.9  4.0 10.4 ...
         8.7  3.0 12.1  3.9  6.5  3.4  8.5  0.9  9.9  7.9]';

Визуализируйте данные с помощью гистограммы.

binWidth = 2;
lastVal = ceil(max(life));
binEdges = 0:binWidth:lastVal+1;
h = histogram(life,binEdges);
xlabel('Time to Failure');
ylabel('Frequency');
ylim([0 10]);

Поскольку данные о жизни часто следуют распределению Вейбула, одним из подходов может быть использование кривой Вейбула из предыдущего примера аппроксимированию кривыми, чтобы соответствовать гистограмме. Чтобы попробовать этот подход, преобразуйте гистограмму в набор точек (x, y), где x - центр интервала, а y - высота интервала, и затем подбирайте кривую к этим точкам.

counts = histcounts(life,binEdges);
binCtrs = binEdges(1:end-1) + binWidth/2;
h.FaceColor = [.9 .9 .9];
hold on
plot(binCtrs,counts,'o');
hold off

Подгонка кривой к гистограмме, однако, проблематична и обычно не рекомендована.

Для многих параметрических распределений максимальная правдоподобность является лучшим способом оценки параметров, потому что он избегает этих проблем. PDF Вейбула имеет почти ту же форму, что и кривая Вейбула:

Однако, $$b/a$$ заменяет параметр шкалы $$c$$ потому что функция должна интегрироваться в 1. Чтобы подогнать распределение Вейбула к данным с помощью максимальной вероятности, используйте fitdist и задайте 'Weibull' как имя распределения. В отличие от наименьших квадратов, максимальная правдоподобность находит PDF Вейбула, который лучше всего соответствует масштабированной гистограмме, не минимизируя сумму квадратов различий между высотами PDF и bar.

pd = fitdist(life,'Weibull');

Постройте масштабированную гистограмму данных и наложите установленный PDF.

h = histogram(life,binEdges,'Normalization','pdf','FaceColor',[.9 .9 .9]);
xlabel('Time to Failure');
ylabel('Probability Density');
ylim([0 0.1]);
xgrid = linspace(0,20,100)';
pdfEst = pdf(pd,xgrid);
line(xgrid,pdfEst)

Лучшая практика состоит в том, чтобы проверить качество подгонки.

Хотя подгонка кривой к гистограмме обычно не рекомендуется, процесс в некоторых случаях подходит. Для получения примера см. раздел «Подбор пользовательских одномерных Распределений».

Функции для распределительных Подборов кривой