Функция плотности вероятностей для крайнего распределения значений с параметром местоположения, и шкалой параметр,
Эта форма функции плотности вероятностей подходит для моделирования минимального значения. Чтобы смоделировать максимальное значение, используйте отрицательное значение исходных значений.
Если T имеет распределение Вейбула с параметрами a и b, то log T имеет экстремальное распределение значений с параметрами µ = log a и σ = 1/b.
Экстремальные распределения значений часто используются, чтобы смоделировать наименьшее или самое большое значение среди большого набора независимых, одинаково распределенных случайных значений, представляющих измерения или наблюдения. Экстремальное распределение значений подходит для моделирования наименьшего значения из распределения, чьи хвосты распадаются экспоненциально быстро, например, нормальное распределение. Это также может смоделировать самое большое значение из распределения, такого как нормальное или экспоненциальное распределения, с помощью отрицательного значения исходных значений.
Для примера следующее подходит к экстремальному распределению значений с минимальными значениями, взятыми более 1000 наборами 500 наблюдений от нормального распределения.
rng default; % For reproducibility xMinima = min(randn(1000,500), [], 2); paramEstsMinima = evfit(xMinima); y = linspace(-5,-1.5,1001); histogram(xMinima,-4.75:.25:-1.75); p = evpdf(y,paramEstsMinima(1),paramEstsMinima(2)); line(y,.25*length(xMinima)*p,'color','r')
Следующее соответствует крайнему распределению значений максимальным значениям в каждом наборе наблюдений.
rng default; % For reproducibility xMaxima = max(randn(1000,500), [], 2); paramEstsMaxima = evfit(-xMaxima); y = linspace(1.5,5,1001); histogram(xMaxima,1.75:.25:4.75); p = evpdf(-y,paramEstsMaxima(1),paramEstsMaxima(2)); line(y,.25*length(xMaxima)*p,'color','r')
Хотя экстремальное распределение значений чаще всего используется в качестве модели для экстремальных значений, можно также использовать его в качестве модели для других типов непрерывных данных. Для примера экстремальные распределения значений тесно связаны с распределением Вейбула. Если T имеет распределение Вейбула, затем log(T) имеет распределение крайних значений типа 1.
Функция evfit возвращает максимальные оценки правдоподобия (MLE) и доверительные интервалы для параметров экстремального распределения значений. В следующем примере показано, как подогнать некоторые выборочные данные с помощью evfit, включая оценки среднего значения и отклонения от установленного распределения.
Предположим, что вы хотите смоделировать размер наименьшей шайбы в каждой партии 1000 от производственного процесса. Если вы считаете, что размеры независимы внутри и между каждой партией, можно подгонять экстремальное распределение значений к измерениям минимального диаметра из серии из восьми экспериментальных партий. Следующий код возвращает MLE параметров распределения следующим parmhat и доверительные интервалы как столбцы parmci.
x = [19.774 20.141 19.44 20.511 21.377 19.003 19.66 18.83]; [parmhat, parmci] = evfit(x)
parmhat = 20.2506 0.8223 parmci = 19.644 0.49861 20.857 1.3562
Вы можете найти среднее и отклонение экстремального распределения значений с этими параметрами с помощью функции evstat.
[meanfit, varfit] = evstat(parmhat(1),parmhat(2))
meanfit = 19.776 varfit = 1.1123
Вычислите PDF экстремального распределения значений.
t = [-5:.01:2]; y = evpdf(t);
Постройте график PDF.
figure; plot(t,y)
Распределение экстремальных значений наклонено налево, и его общая форма остается неизменной для всех значений параметров. Параметр местоположения, mu, смещает распределение вдоль действительной линии, и параметр шкалы, sigma, расширяет или сокращает распределение.
Следующие графики вероятностей для различных комбинаций mu и sigma.
x = -15:.01:5; plot(x,evpdf(x,2,1),'-', ... x,evpdf(x,0,2),':', ... x,evpdf(x,-2,4),'-.'); legend({'mu = 2, sigma = 1', ... 'mu = 0, sigma = 2', ... 'mu = -2, sigma = 4'}, ... 'Location','NW') xlabel('x') ylabel('f(x|mu,sigma)')
