Обобщенное распределение экстремальных значений

Определение

Функция плотности вероятностей для обобщенного крайнего распределения значений с параметром местоположения, шкалы параметром, и параметром формы k ≠ 0 является

$y = f (x | k, μ, σ) = (\frac{1}{σ}) \exp (- {(1 + k \frac{(x - μ)}{σ})}^{- \frac{1}{k}}) {(1 + k \frac{(x - μ)}{σ})}^{- 1 - \frac{1}{k}}$

для

$1 + k \frac{(x- μ)}{σ} > 0$

k > 0 соответствует случаю типа II, в то время как k < 0 соответствует случаю типа III. Для k = 0, соответствующий случаю типа I, плотность составляет

$y = f (x | 0, μ, σ) = (\frac{1}{σ}) \exp (- \exp (- \frac{(x - μ)}{σ}) - \frac{(x - μ)}{σ})$

Фон

Как и экстремальное распределение значений, обобщенное экстремальное распределение значений часто используется для моделирования наименьшего или наибольшего значения среди большого набора независимых, одинаково распределенных случайных значений, представляющих измерения или наблюдения. Для примера, у вас могут быть партии 1000 шайб от производственного процесса. Если вы записываете размер самой большой шайбы в каждой партии, данные известны как блочные максимумы (или минимумы, если вы записываете самую маленькую). Можно использовать обобщенное распределение экстремальных значений в качестве модели для тех, блока максимумы.

Обобщенное экстремальное значение объединяет три более простых распределения в одну форму, позволяя непрерывная область значений возможных форм, который включает все три более простых распределения. Можно использовать любое из этих распределений, чтобы смоделировать конкретный набор данных с максимумами блоков. Обобщенное распределение экстремальных значений позволяет вам «позволить данным решить», какое распределение подходит.

Три случая, охватываемые обобщенным распределением экстремальных значений, часто называются типами I, II и III. Каждый тип соответствует лимитирующему распределению максимумов блоков из другого класса базовых распределений. Распределения, чьи хвосты уменьшаются экспоненциально, такие как normal, приводят к распределениям Type I. Распределения, чьи хвосты уменьшаются как полином, такие как Student's t, приводят к распределениям Type II. Распределения, чьи хвосты конечны, такие как бета, приводят к типу III.

Типы I, II и III иногда также называют типами Гумбеля, Фреше и Вейбула, хотя эта терминология может быть немного запутанной. Случаи типа I (Гумбель) и типа III (Вейбул) фактически соответствуют зеркальным изображениям обычных распределений Гумбеля и Вейбула, например, как вычислено функциями evcdf и evfit , или wblcdf и wblfit, соответственно. Наконец, случай типа II (Frechet) эквивалентен получению взаимности значений из стандартного распределения Вейбула.

Параметры

Если вы сгенерировали 250 блоков 1000 случайных значений, полученных из t-распределения Студента с 5 степенями свободы, и взяли их максимумы, можно подогнать обобщенное экстремальное распределение значений к этим максимумам.

blocksize = 1000;
nblocks = 250;
rng default  % For reproducibility
t = trnd(5,blocksize,nblocks);
x = max(t); % 250 column maxima
paramEsts = gevfit(x)

paramEsts = 1×3

    0.1185    1.4530    5.8929

Заметьте, что оценка параметра формы (первый элемент) положительная, что вы ожидаете на основе максимумов блоков из распределения t Student.

histogram(x,2:20,'FaceColor',[.8 .8 1]);
xgrid = linspace(2,20,1000);
line(xgrid,nblocks*...
     gevpdf(xgrid,paramEsts(1),paramEsts(2),paramEsts(3)));

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type histogram, line.

Примеры

Вычислите обобщенное распределение экстремальных значений PDF

Открыть Live Script

Сгенерируйте примеры функций плотности вероятностей для трех основных форм обобщенного экстремального распределения значений.

x = linspace(-3,6,1000);
y1 = gevpdf(x,-.5,1,0); 
y2 = gevpdf(x,0,1,0); 
y3 = gevpdf(x,.5,1,0);
plot(x,y1,'-', x,y2,'--', x,y3,':')
legend({'K < 0, Type III' 'K = 0, Type I' 'K > 0, Type II'})

Figure contains an axes. The axes contains 3 objects of type line. These objects represent K < 0, Type III, K = 0, Type I, K > 0, Type II.

Заметьте, что для k > 0, распределение имеет нулевую плотность вероятностей для x таким, что $x < - σ / k + μ$ .

Для k < 0, распределение имеет нулевую плотность вероятностей для $x > - σ / k + μ$ .

Для k = 0верхняя или нижняя граница отсутствует.

См. также

GeneralizedExtremeValueDistribution

Документация