Плотность распределения вероятности для обобщенного распределения Парето с параметром <reservedrangesplaceholder3> <reservedrangesplaceholder2> формы, масштабный коэффициент σ, и параметром порога θ,
для θ <x, когда k> 0, или для θ <x <θ - σ / k, когда k <0.
Для k = 0, плотность равна
для θ < x.
Если k = 0 и θ = 0, обобщенное распределение Парето эквивалентно экспоненциальному распределению. Если k > 0 и θ = σ/ k, обобщённое распределение Парето эквивалентно распределению Парето с параметром шкалой, равным σ/ k и параметром формы, равным 1/ k.
Как и экспоненциальное распределение, обобщенное распределение Парето часто используется для моделирования хвостов другого распределения. Для примера у вас могут быть шайбы от производственного процесса. Если случайные влияния в процессе приводят к различиям в размерах шайб, для моделирования этих размеров может использоваться стандартное распределение вероятностей, такое как нормальное. Однако, хотя нормальное распределение может быть хорошей моделью около своего режима, это может быть неэффективной подгонкой к реальным данным в хвостах, и для описания полной области значений данных может потребоваться более сложная модель. С другой стороны, только запись размеров шайб, больших (или меньших), чем определенный порог, означает, что вы можете подгонять отдельную модель к тем данным о хвосте, которые известны как превышения. Можно использовать обобщенное распределение Парето таким образом, чтобы обеспечить хорошую подгонку к крайностям сложных данных.
Обобщенное распределение Парето позволяет непрерывная область значений возможных форм, который включает как экспоненциальное, так и Парето распределения в качестве особых случаев. Можно использовать любое из этих распределений, чтобы смоделировать конкретный набор данных с превышениями. Обобщенное распределение Парето позволяет вам «позволить данным решить», какое распределение подходит.
Обобщенное распределение Парето имеет три основные формы, каждая из которых соответствует ограничивающему распределению данных о превышении из другого класса базовых распределений.
Распределения, чьи хвосты уменьшаются экспоненциально, такие как normal, приводят к обобщенному параметру формы Парето с нулем.
Распределения, чьи хвосты уменьшаются как полином, такие как t Студента, приводят к положительному параметру формы.
Распределения, чьи хвосты конечны, такие как бета, приводят к отрицательному параметру формы.
Обобщенное распределение Парето используется в хвостах распределения подгонки объектов paretotails объект.
Если вы генерируете большое количество случайных значений из t-распределения Студента с 5 степенями свободы, а затем отбрасываете все меньше 2, можно подгонять обобщенное распределение Парето к этим превышениям.
rng default % For reproducibility t = trnd(5,5000,1); y = t(t > 2) - 2; paramEsts = gpfit(y)
paramEsts = 1×2
0.1445 0.7225
Заметьте, что оценка параметра формы (первый элемент) положительная, что вы ожидаете на основе превышений от распределения Student t.
hist(y+2,2.25:.5:11.75); h = findobj(gca,'Type','patch'); h.FaceColor = [.8 .8 1]; xgrid = linspace(2,12,1000); line(xgrid,.5*length(y)*... gppdf(xgrid,paramEsts(1),paramEsts(2),2));
Вычислите PDF из трех обобщенных распределений Парето. Первый имеет параметр формы k = -0.25, второй имеет k = 0, а третий имеет k = 1.
x = linspace(0,10,1000); y1 = gppdf(x,-.25,1,0); y2 = gppdf(x,0,1,0); y3 = gppdf(x,1,1,0);
Постройте график трех PDFS на том же рисунке.
figure; plot(x,y1,'-', x,y2,'--', x,y3,':') legend({'K < 0' 'K = 0' 'K > 0'});
[1] Embrechts, P., C. Klüppelberg, and T. Mikosch. Моделирование экстремальных событий для страхования и финансов. Нью-Йорк: Спрингер, 1997.
[2] Коц, С. и С. Надараджа. Экстремальные распределения значений: теория и приложения. Лондон: Imperial College Press, 2000.