Документация

Введение

Анализ выживания является анализом времени до события, то есть, когда интересующим результатом является время до наступления события. Примерами времени до событий являются время до заражения, повторного возникновения заболевания или восстановления в области здравоохранения, длительность безработицы в экономике, время до отказа машинной части или времени жизни лампочек в технике и так далее. Анализ выживания является частью исследований надежности в инженерии. При этом обычно используется для изучения срока службы промышленных компонентов. В анализе надежности время выживания обычно называется временем отказа, так как интересующей переменной является то, сколько времени компонент функционирует правильно, прежде чем он перестанет работать.

Анализ выживания состоит из параметрических, семипараметрических и непараметрических методов. Можно использовать их, чтобы оценить наиболее часто используемые показатели в исследованиях выживания, функции выживания и опасности, сравнить их для различных групп и оценить связь переменных предиктора со временем выживания. Некоторые статистические распределения вероятностей хорошо описывают время выживания. Обычно используемые распределения являются экспоненциальными, распределения Вейбула, lognormal, Burr и Birnbaum-Saunders. Statistics and Machine Learning Toolbox™ ecdf и ksdensity вычислите эмпирические и оценки плотности ядра функций cdf, совокупной опасности и выжившего. coxphfit соответствует модели пропорциональных рисков Кокса данным.

Цензурирование

Одной из важных концепций анализа выживания является цензура. Время выживания некоторых индивидуумов может не полностью наблюдаться по разным причинам. В науке о жизни это может произойти, когда исследование выживания (например, клиническое исследование) останавливается, прежде чем можно будет наблюдать полное время выживания всех индивидуумов, или человек выпадает из исследования, или для долгосрочных исследований, когда пациент теряется для наблюдения. В промышленном контексте не все компоненты могли выйти из строя до окончания исследования надежности. В таких случаях индивидуум выживает сверх времени исследования, и точное время выживания неизвестно. Это называется правильной цензурой.

Во время исследования выживания либо наблюдают неудачу индивидуума в T момент времени, либо наблюдение за этим индивидуумом прекращается в c времени. Тогда наблюдение минимальное (T, c) и показатель переменной I c показывает, цензурирован ли человек или нет. Расчеты на опасность и выжившие функции должны быть скорректированы с учетом цензуры. Функции Statistics and Machine Learning Toolbox, такие как ecdf, ksdensity, coxphfit, и mle учитывайте цензуру.

Данные

Данные о выживании обычно состоят из времени до наступления интересующего события и информации о цензуре для каждого индивидуума или компонента. Следующая таблица показывает фиктивное время безработицы индивидуумов в 6-месячном исследовании. Два индивидуумов подвергаются правой цензуре (обозначается цензурным значением 1). Один индивидуум все еще был безработным после 24-й недели, когда исследование закончилось. Контакт с другим подвергнутым цензуре индивидуумом был утрачен в конце 21-й недели.

Данные о выживании могут также включать количество отказов в определенное время (количество раз, когда наблюдалось конкретное время выживания или отказа). Следующая таблица показывает моделируемое время до тех пор, пока светодиоды не опустятся до 70% от его полного уровня выходного света, в часах, в ускоренном тесте жизни.

Данные могут также иметь информацию о переменных предиктора, для использования в полупараметрических регрессионоподобных методах, таких как регрессия пропорциональных рисков Кокса.

Функция выживания

Функция выжившего является вероятностью выживания как функция времени. Это также называется функцией выживания. Это дает вероятность того, что время выживания индивидуума превышает определенное значение. Поскольку совокупная функция распределения F (t) является вероятностью того, что время выживания меньше или равно заданному точке времени, функция выживания для непрерывного распределения, S (t), является дополнением совокупной функции распределения:

S (<reservedrangesplaceholder2>) = 1 – F (<reservedrangesplaceholder0>).

Функция выжившего также связана с функцией опасности. Если данные имеют функцию опасности, h (t), то функция выжившего

который соответствует

где H (t) является совокупной функцией опасности.

x = 0:0.1:200;
figure()
plot(x,1-cdf('Burr',x,50,3,1))
xlabel('Failure time');
ylabel('Survival probability');

load readmissiontimes

[ReadmissionTime Censored]

ans = 100×2

     5     1
     3     1
    19     0
    17     0
     9     0
    16     0
     4     0
     2     0
     3     0
    15     0
      ⋮

ecdf(ReadmissionTime,'censoring',Censored,'function','survivor')

Функция опасности

Функция опасности дает мгновенную частоту отказов индивидуума, обусловленную тем, что индивидуум дожил до заданного времени. То есть,

где 't' является очень маленьким временным интервалом. Поэтому скорость опасности иногда называется условной частотой отказа. Функция опасности всегда принимает положительное значение. Однако эти значения не соответствуют вероятностям и могут быть больше 1.

Функция опасности связана с функцией плотности вероятностей, f (t), совокупной функцией распределения, F (t) и функцией выживания, S (t), следующим образом:

что также эквивалентно

Итак, если вы знаете форму функции выживания, можно также вывести соответствующую функцию опасности.

x = 0:1:200;
Burrhazard = pdf('Burr',x,50,3,1)./(1-cdf('Burr',x,50,3,1));
figure()
plot(x,Burrhazard)
xlabel('Failure time');
ylabel('Hazard rate');

figure
ax1 = subplot(3,1,1);
x1 = 0:0.05:10;
hazard1 = pdf('wbl',x1,3,0.6)./(1-cdf('wbl',x1,3,0.6));
plot(x1,hazard1,'color','b')
set(ax1,'Ylim',[0 0.6]);
legend(ax1,'a=3, b=0.6');

ax2 = subplot(3,1,2);
x2 = 0:0.05:10;
hazard2 = pdf('wbl',x2,9,4)./(1-cdf('wbl',x2,9,4));
plot(x2,hazard2,'color','r')
set(ax2,'Ylim',[0 0.6]);
legend(ax2,'a=9, b=4','location','southeast');

ax3 = subplot(3,1,3);
x3 = 0:0.05:10;
hazard3 = pdf('wbl',x3,2.5,1)./(1-cdf('wbl',x3,2.5,1));
plot(x3,hazard3,'color','g')
set(ax3,'Ylim',[0 0.6]);
legend(ax3,'a=2.5, b=1');