erfc
Дополнительная функция ошибки
Описание
erfc( представляет дополнительную функцию ошибки X)X, то есть erfc(X) = 1 - erf(X).
erfc( представляет итерационный интеграл дополнительной функции ошибки K,X)X, то есть erfc(K, X) = int(erfc(K - 1, y), y, X, inf).
Примеры
Дополнительная функция ошибки для чисел с плавающей запятой и символьных чисел
В зависимости от его аргументов, erfc может вернуть с плавающей точкой или точные символьные результаты.
Вычислите дополнительную функцию ошибки для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой:
A = [erfc(1/2), erfc(1.41), erfc(sqrt(2))]
A =
0.4795 0.0461 0.0455Вычислите дополнительную функцию ошибки для тех же чисел, преобразованных в символические объекты. Для большинства символических (точных) чисел, erfc возвращает неразрешенные символические вызовы:
symA = [erfc(sym(1/2)), erfc(sym(1.41)), erfc(sqrt(sym(2)))]
symA = [ erfc(1/2), erfc(141/100), erfc(2^(1/2))]
Использовать vpa для аппроксимации символьных результатов с необходимым количеством цифр:
d = digits(10); vpa(symA) digits(d)
ans = [ 0.4795001222, 0.04614756064, 0.0455002639]
Функция ошибки для переменных и выражений
Для большинства символьных переменных и выражений, erfc возвращает неразрешенные символические вызовы.
Вычислите дополнительную функцию ошибки для x и sin(x) + x*exp(x):
syms x f = sin(x) + x*exp(x); erfc(x) erfc(f)
ans = erfc(x) ans = erfc(sin(x) + x*exp(x))
Дополнительная функция ошибки для векторов и матриц
Если входной параметр является вектором или матрицей, erfc возвращает дополнительную функцию ошибки для каждого элемента этого вектора или матрицы.
Вычислите дополнительную функцию ошибки для элементов матрицы M и векторные V:
M = sym([0 inf; 1/3 -inf]); V = sym([1; -i*inf]); erfc(M) erfc(V)
ans =
[ 1, 0]
[ erfc(1/3), 2]
ans =
erfc(1)
1 + Inf*1iВычислите итерационный интеграл дополнительной функции ошибки для элементов V и Mи целое число -1:
erfc(-1, M) erfc(-1, V)
ans =
[ 2/pi^(1/2), 0]
[ (2*exp(-1/9))/pi^(1/2), 0]
ans =
(2*exp(-1))/pi^(1/2)
InfСпециальные значения дополнительной функции ошибки
erfc возвращает специальные значения для конкретных параметров.
Вычислите дополнительную функцию ошибки для x = 0, x = ∞ и x = - ∞. Дополнительная функция ошибки имеет специальные значения для этих параметров:
[erfc(0), erfc(Inf), erfc(-Inf)]
ans =
1 0 2Вычислите дополнительную функцию ошибки для сложных бесконечностей. Использовать sym для преобразования сложных бесконечностей в символические объекты:
[erfc(sym(i*Inf)), erfc(sym(-i*Inf))]
ans = [ 1 - Inf*1i, 1 + Inf*1i]
Обработка выражений, которые содержат дополнительную функцию ошибки
Многие функции, такие как diff и int, может обрабатывать выражения, содержащие erfc.
Вычислите первую и вторую производные дополнительной функции ошибки:
syms x diff(erfc(x), x) diff(erfc(x), x, 2)
ans = -(2*exp(-x^2))/pi^(1/2) ans = (4*x*exp(-x^2))/pi^(1/2)
Вычислите интегралы этих выражений:
syms x int(erfc(-1, x), x)
ans = erf(x)
int(erfc(x), x)
ans = x*erfc(x) - exp(-x^2)/pi^(1/2)
int(erfc(2, x), x)
ans = (x^3*erfc(x))/6 - exp(-x^2)/(6*pi^(1/2)) +... (x*erfc(x))/4 - (x^2*exp(-x^2))/(6*pi^(1/2))
Постройте дополнительную функцию ошибки
Постройте график функции дополнительной ошибки на интервале от -5 до 5.
syms x fplot(erfc(x),[-5 5]) grid on
Входные параметры
Подробнее о
Совет
Вызов
erfcдля числа, которое не является символьным объектом, вызывает MATLAB®erfcфункция. Эта функция принимает только действительные аргументы. Если вы хотите вычислить дополнительную функцию ошибки для комплексного числа, используйтеsymчтобы преобразовать это число в символьный объект, а затем вызватьerfcдля этого символического объекта.Для большинства символических (точных) чисел,
erfcвозвращает неразрешенные символические вызовы. Можно аппроксимировать такие результаты с помощью чисел с плавающей запятойvpa.По крайней мере, один входной параметр должен быть скаляром, или оба аргумента должны быть векторами или матрицами одного размера. Если один входной параметр является скаляром, а другой - вектором или матрицей, то
erfcрасширяет скаляр в вектор или матрицу того же размера, что и другой аргумент со всеми элементами, равными этому скаляру.
Алгоритмы
Тулбокс может упростить выражения, которые содержат функции ошибок и их инверсии. Для действительных значений xтулбокс применяет следующие правила упрощения:
erfinv(erf(x)) = erfinv(1 - erfc(x)) = erfcinv(1 - erf(x)) = erfcinv(erfc(x)) = xerfinv(-erf(x)) = erfinv(erfc(x) - 1) = erfcinv(1 + erf(x)) = erfcinv(2 - erfc(x)) = -x
Для любого значения xсистема применяет следующие правила упрощения:
erfcinv(x) = erfinv(1 - x)erfinv(-x) = -erfinv(x)erfcinv(2 - x) = -erfcinv(x)erf(erfinv(x)) = erfc(erfcinv(x)) = xerf(erfcinv(x)) = erfc(erfinv(x)) = 1 - x
Ссылки
[1] Gautschi, W. «Error Function and Fresnel Integrals». Руководство по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. (М. Абрамовиц и И. А. Штегун, эд.). Нью-Йорк: Дувр, 1972.