Корень матричного куба

Поиск матричных B, таким образом, что B3 = A, где A является единичной матрицей 3 на 3.

Как решить B3 = A, вычислите корень куба матрицы A использование funm функция. Создайте символическую функцию f(x) = x^(1/3) и используйте его как второй аргумент для funm. Корень куба матрицы тождеств является самой матрицей тождеств.

A = sym(eye(3))

syms f(x)
f(x) = x^(1/3);

B = funm(A,f)

A =
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]
 
B =
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]

Замените один из 0 элементы матрицы A с 1 и снова вычислите корень матричного куба.

A(1,2) = 1
B = funm(A,f)

A =
[ 1, 1, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]

B =
[ 1, 1/3, 0]
[ 0,   1, 0]
[ 0,   0, 1]

Теперь вычислите кубический корень верхней треугольной матрицы.

A(1:2,2:3) = 1
B = funm(A,f)

A =
[ 1, 1, 1]
[ 0, 1, 1]
[ 0, 0, 1]

B =
[ 1, 1/3, 2/9]
[ 0,   1, 1/3]
[ 0,   0,   1]

Проверьте, что B3 = A.

B^3

ans =
[ 1, 1, 1]
[ 0, 1, 1]
[ 0, 0, 1]

Матричная функция Ламберта W

Найдите матричную функцию Lambert W.

Сначала создайте матрицу 3 на 3 A использование арифметики переменной точности с пятизначной точностью. В этом примере использование арифметики переменной точности вместо точных символьных чисел позволяет ускорить расчеты и уменьшить использование памяти. Использование только пяти цифр помогает помещаться на экране.

savedefault = digits(5);
A = vpa(magic(3))

A =
[ 8.0, 1.0, 6.0]
[ 3.0, 5.0, 7.0]
[ 4.0, 9.0, 2.0]

Создайте символическую функцию f(x) = lambertw(x).

syms f(x)
f(x) = lambertw(x);

Чтобы найти функцию Lambert W (_W0 ветвь) в матричном смысле вызывайтеfunm использование f(x) как его второй аргумент.

W0 = funm(A,f)

W0 =
[  1.5335 + 0.053465i, 0.11432 + 0.47579i, 0.36208 - 0.52925i]
[ 0.21343 + 0.073771i,  1.3849 + 0.65649i, 0.41164 - 0.73026i]
[  0.26298 - 0.12724i,  0.51074 - 1.1323i,   1.2362 + 1.2595i]

Проверьте, что этот результат является решением матричного уравнения A = W0· eW0 в пределах заданной точности.

W0*expm(W0)

ans =
[               8.0, 1.0 - 5.6843e-13i, 6.0 + 1.1369e-13i]
[ 3.0 - 2.2737e-13i, 5.0 - 2.8422e-14i, 7.0 - 4.1211e-13i]
[ 4.0 - 2.2737e-13i, 9.0 - 9.9476e-14i, 2.0 + 1.4779e-12i]

Теперь создайте символическую функцию f(x) представление ветви _W-1 функции Lambert W.

f(x) = lambertw(-1,x);

Найдите _W-1 ветвь для матричной A.

Wm1 = funm(A,f)

Wm1 =
[   0.40925 - 4.7154i, 0.54204 + 0.5947i, 0.13764 - 0.80906i]
[ 0.38028 + 0.033194i, 0.65189 - 3.8732i, 0.056763 - 1.0898i]
[   0.2994 - 0.24756i, - 0.105 - 1.6513i,  0.89453 - 3.0309i]

Проверьте, что этот результат является решением матричного уравнения A = Wm1· eWm1 в пределах заданной точности.

Wm1*expm(Wm1)

ans =
[ 8.0 - 8.3844e-13i,  1.0 - 3.979e-13i, 6.0 - 9.0949e-13i]
[ 3.0 - 9.6634e-13i,  5.0 + 1.684e-12i, 7.0 + 4.5475e-13i]
[ 4.0 - 1.3642e-12i, 9.0 + 1.6698e-12i, 2.0 + 1.7053e-13i]

Матрица экспоненциальная, логарифмическая и квадратный корень

Вы можете использовать funm с соответствующими вторыми аргументами для поиска матричного экспоненциального, логарифмического и квадратного корня. Однако более эффективным подходом является использование функций expm, logm, и sqrtm для этой задачи.

Создайте эту квадратную матрицу и найдите ее экспоненциальный, логарифмический и квадратный корень.

syms x
A = [1 -1; 0 x]
expA = expm(A)
logA = logm(A)
sqrtA = sqrtm(A)

A =
[ 1, -1]
[ 0,  x]
 
expA =
[ exp(1), (exp(1) - exp(x))/(x - 1)]
[      0,                    exp(x)]
 
logA =
[ 0, -log(x)/(x - 1)]
[ 0,          log(x)]
 
sqrtA =
[ 1, 1/(x - 1) - x^(1/2)/(x - 1)]
[ 0,                     x^(1/2)]

Найдите матричный экспоненциальный, логарифмический и квадратный корни A использование funm. Используйте символические выражения exp(x), log(x), и sqrt(x) как второй аргумент funm. Результаты идентичны.

expA = funm(A,exp(x))
logA = funm(A,log(x))
sqrtA = funm(A,sqrt(x))

expA =
[ exp(1), exp(1)/(x - 1) - exp(x)/(x - 1)]
[      0,                          exp(x)]
 
logA =
[ 0, -log(x)/(x - 1)]
[ 0,          log(x)]
 
sqrtA =
[ 1, 1/(x - 1) - x^(1/2)/(x - 1)]
[ 0,                     x^(1/2)]