Логарифмическая гамма-функция для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, gammaln возвращает результаты с плавающей точкой или точные символьные результаты.

Вычислите логарифмическую гамма-функцию для этих чисел. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.

A = gammaln([1/5, 1/2, 2/3, 8/7, 3])

A =
    1.5241    0.5724    0.3032   -0.0667    0.6931

Вычислите логарифмическую гамма-функцию для чисел, преобразованных в символические объекты. Для многих символических (точных) чисел, gammaln возвращает результаты в терминах gammaln, log, и gamma функций.

symA = gammaln(sym([1/5, 1/2, 2/3, 8/7, 3]))

symA =
[ gammaln(1/5), log(pi^(1/2)), gammaln(2/3),...
log(gamma(1/7)/7), log(2)]

Использовать vpa для аппроксимации символьных результатов с числами с плавающей запятой:

vpa(symA)

ans =
[ 1.5240638224307845248810564939263,...
0.57236494292470008707171367567653,...
0.30315027514752356867586281737201,...
-0.066740877459477468649396334098109,...
0.69314718055994530941723212145818]

Определение логарифмической гамма-функции на комплексной плоскости

gammaln определяется для всех сложных аргументов, кроме отрицательной бесконечности.

Вычислите логарифмическую гамма-функцию для положительных целочисленных аргументов. Для таких аргументов логарифмическая гамма-функция определяется как естественный логарифм гамма-функции, gammaln(x) = log(gamma(x)).

pos = gammaln(sym([1/4, 1/3, 1, 5, Inf]))

pos =
[ log((pi*2^(1/2))/gamma(3/4)), log((2*pi*3^(1/2))/(3*gamma(2/3))), 0, log(24), Inf]

Вычислите логарифмическую гамма-функцию для непозитивных целочисленных аргументов. Для непозитивных целых чисел, gammaln возвращает Inf.

nonposint = gammaln(sym([0, -1, -2, -5, -10]))

nonposint =
[ Inf, Inf, Inf, Inf, Inf]

Вычислите логарифмическую гамма-функцию для сложных и отрицательных рациональных аргументов. Для этих аргументов gammaln возвращает неразрешенные символические вызовы.

complex = gammaln(sym([i, -1 + 2*i , -2/3, -10/3]))

complex =
[ gammaln(1i), gammaln(- 1 + 2i), gammaln(-2/3), gammaln(-10/3)]

Использовать vpa для аппроксимации символьных результатов с числами с плавающей запятой:

vpa(complex)

ans =
[ - 0.65092319930185633888521683150395 - 1.8724366472624298171188533494366i,...
- 3.3739449232079248379476073664725 - 3.4755939462808110432931921583558i,...
1.3908857550359314511651871524423 - 3.1415926535897932384626433832795i,...
- 0.93719017334928727370096467598178 - 12.566370614359172953850573533118i]

Вычислите логарифмическую гамма-функцию отрицательной бесконечности:

gammaln(sym(-Inf))

ans =
NaN

Построение логарифмической гамма-функции

Постройте график логарифмической гамма-функции на интервале от 0 до 10.

syms x
fplot(gammaln(x),[0 10])
grid on

Чтобы лучше увидеть отрицательные значения, постройте график той же функции на интервале от 1 до 2.

fplot(gammaln(x),[1 2])
grid on

Выражения указатель, содержащие логарифмическую гамма-функцию

Многие функции, такие как diff и limit, может обрабатывать выражения, содержащие lngamma.

Дифференцируйте логарифмическую гамма-функцию:

syms x
diff(gammaln(x), x)

ans =
psi(x)

Вычислите пределы этих выражений, содержащих логарифмическую гамма-функцию:

syms x
limit(1/gammaln(x), x, Inf)

ans =
0

limit(gammaln(x - 1) - gammaln(x - 2), x, 0)

ans =
log(2) + pi*1i