odeToVectorField

Уменьшите порядок дифференциальных уравнений до первого порядка

Поддержка вектора символов или строковых входов будет удалена в следующем релизе. Вместо этого используйте syms объявить переменные и заменить такие входы, как odeToVectorField('D2y = x') с syms y(x), odeToVectorField(diff(y,x,2) == x).

Синтаксис

V = odeToVectorField(eqn1,...,eqnN)

[V,S] =
odeToVectorField(eqn1,...,eqnN)

Описание

пример

V = odeToVectorField(eqn1,...,eqnN) преобразует дифференциальные уравнения более высокого порядка eqn1,...,eqnN в систему дифференциальных уравнений первого порядка, возвращаемую как символьный вектор.

пример

[V,S] = odeToVectorField(eqn1,...,eqnN) преобразует eqn1,...,eqnN и возвращает два символьных вектора. Первый вектор V совпадает с выходами предыдущего синтаксиса. Второй вектор S показаны замены, сделанные для получения V.

Примеры

свернуть все

Преобразуйте дифференциальное уравнение второго порядка в систему первого порядка

Открыть Live Script

Задайте дифференциальное уравнение второго порядка:

$\frac{d^{2} y}{{dt}^{2}} + y^{2} t = 3 t .$

Преобразуйте дифференциальное уравнение второго порядка в систему дифференциальных уравнений первого порядка.

syms y(t)
eqn = diff(y,2) + y^2*t == 3*t;
V = odeToVectorField(eqn)

V = 
 $(\begin{array}{c} Y_{2} \\ 3 t - t {Y_{1}}^{2} \end{array})$

Элементы V представляют систему дифференциальных уравнений первого порядка, где V[i] = ${Y_{i}}^{'}$ и $Y_{1} = y$ . Вот, выход V представляет эти уравнения:

$\frac{d Y_{1}}{dt} = Y_{2}$

$\frac{{dY}_{2}}{dt} = 3 t - t Y_{1}^{2} .$

Для получения дополнительной информации о связи между входом и выходом, см. Алгоритмы.

Обратные замены, сделанные при уменьшении порядка дифференциальных уравнений

Открыть Live Script

При уменьшении порядка дифференциальных уравнений возвращайте замены, которые odeToVectorField делает путем определения второго выходного аргумента.

syms f(t) g(t)
eqn1 = diff(g) == g-f;
eqn2 = diff(f,2) == g+f;
eqns = [eqn1 eqn2];
[V,S] = odeToVectorField(eqns)

V = 
 $(\begin{array}{c} Y_{2} \\ Y_{1} + Y_{3} \\ Y_{3} - Y_{1} \end{array})$

S = 
 $(\begin{array}{c} f \\ Df \\ g \end{array})$

Элементы V представляют систему дифференциальных уравнений первого порядка, где V[i] = ${Y_{i}}^{'}$ . Выходные данные S показывают выполняемые замены, S [1] = $Y_{1} = f$ , S [2] = $Y_{2}$ = diff(f), и S [3] = $Y_{3} = g$ .

Решение дифференциального уравнения более высокого порядка численно

Открыть Live Script

Решить дифференциальное уравнение более высокого порядка численно путем уменьшения порядка уравнения, генерации указателя на функцию MATLAB ® и последующего нахождения численного решения с помощью ode45 функция.

Преобразуйте следующее дифференциальное уравнение второго порядка в систему дифференциальных уравнений первого порядка при помощи odeToVectorField.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = (1 - y^{2}) \frac{dy}{dt} - y .$

syms y(t)
eqn = diff(y,2) == (1-y^2)*diff(y)-y;
V = odeToVectorField(eqn)

V = 
 $(\begin{array}{c} Y_{2} \\ - ({Y_{1}}^{2} - 1) Y_{2} - Y_{1} \end{array})$

Сгенерируйте указатель на функцию MATLAB из V при помощи matlabFunction.

M = matlabFunction(V,'vars',{'t','Y'})

M = function_handle with value:
    @(t,Y)[Y(2);-(Y(1).^2-1.0).*Y(2)-Y(1)]

Задайте интервал решения, который будет [0 20] и начальные условия, которые будут $y^{'} (0) = 2$ и $y^{''} (0) = 0$ . Решить систему дифференциальных уравнений первого порядка можно используя ode45.

interval = [0 20];
yInit = [2 0];
ySol = ode45(M,interval,yInit);

Далее постройте график решения $y (t)$ в пределах интервала $t$ = [0 20]. Сгенерируйте значения t при помощи linspace. Оцените решение для $y (t)$ , который является первым индексом в ySol, вызовом deval функция с индексом 1. Постройте график решения с помощью plot.

tValues = linspace(0,20,100);
yValues = deval(ySol,tValues,1);
plot(tValues,yValues)

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

Преобразуйте дифференциальное уравнение второго порядка с начальным условием

Открыть Live Script

Преобразуйте дифференциальное уравнение второго порядка $y^{''} (x) = x$ с начальным условием $y (0) = a$ в систему первого порядка.

syms y(x) a
eqn = diff(y,x,2) == x;
cond = y(0) == a;
V = odeToVectorField(eqn,cond)

V = 
 $(\begin{array}{c} Y_{2} \\ x \end{array})$

Входные параметры

свернуть все

`eqn1,...,eqnN` - Дифференциальные уравнения более высокого порядка
символьное дифференциальное уравнение | массив символьных дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения более высокого порядка, заданные как символьное дифференциальное уравнение или массив символьных дифференциальных уравнений. Используйте == оператор для создания уравнения. Используйте diff функция для указания дифференциации. Для примера представьте d²y (<reservedrangesplaceholder1>) / dt² = t y (t) путем ввода следующей команды.

syms y(t)
eqn = diff(y,2) == t*y;

Выходные аргументы

свернуть все

`V` - Дифференциальные уравнения первого порядка
символьное выражение | вектор символьных выражений

Дифференциальные уравнения первого порядка, возвращенные как символьное выражение или вектор символьных выражений. Каждый элемент этого вектора является правой стороной дифференциального уравнения первого порядка Y [i] ′ = V [i].

`S` - Замены в уравнениях первого порядка
вектор символьных выражений

Замены в уравнениях первого порядка, возвращенные как вектор символьных выражений. Элементы вектора представляют замены, такие что S(1) = Y[1], S(2) = Y[2],….

Совет

Чтобы решить получившуюся систему дифференциальных уравнений первого порядка, сгенерируйте MATLAB^® указатель на функцию с использованием matlabFunction с V как вход. Затем используйте сгенерированный указатель на функцию MATLAB в качестве входов для численного решателя MATLAB ode23 или ode45.
odeToVectorField может преобразовывать только квазилинейные дифференциальные уравнения. То есть производные высшего порядка должны появиться линейно. Для примера, odeToVectorField можно преобразовать y * y ″ (t) = - t² потому что его можно переписать как y ″ (t) = - t²/ y. Однако он не может преобразовать y ″ (t)² = – t² или sin (y ″ (t)) = - t².

Алгоритмы

Для преобразования дифференциального уравнения n-го порядка

$a_{n} (t) y^{(n)} + a_{n - 1} (t) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (t) y^{'} + a_{0} (t) y + r (t) = 0$

в систему дифференциальных уравнений первого порядка, odetovectorfield делает эти замены.

$\begin{array}{l} Y_{1} = y \\ Y_{2} = y^{'} \\ Y_{3} = y^{″} \\ \dots \\ Y_{n - 1} = y^{(n - 2)} \\ Y_{n} = y^{(n - 1)} \end{array}$

Используя новые переменные, он переписывает уравнение как систему n дифференциальных уравнений первого порядка:

$\begin{array}{l} Y_{1}^{'} = y^{'} = Y_{2} \\ Y_{2}^{'} = y^{″} = Y_{3} \\ \dots \\ Y_{n - 1}^{'} = y^{(n - 1)} = Y_{n} \\ Y_{n}^{'} = - \frac{a_{n - 1} (t)}{a_{n} (t)} Y_{n} - \frac{a_{n - 2} (t)}{a_{n} (t)} Y_{n - 1} - ... - \frac{a_{1} (t)}{a_{n} (t)} Y_{2} - \frac{a_{0} (t)}{a_{n} (t)} Y_{1} + \frac{r (t)}{a_{n} (t)} \end{array}$

odeToVectorField возвращает правые стороны этих уравнений как элементы вектора V и замены, сделанные в качестве второго выхода S.

Вопросы совместимости

расширить все