Простые ОДУ, которые имеют один компонент решения, могут быть заданы как анонимная функция в вызове решателя. Анонимная функция должна принимать два входов (t,y) даже если один из входов не используется.

Решение ОДУ

Используйте временной интервал [0,5] и начальное условие y0 = 0.

tspan = [0 5];
y0 = 0;
[t,y] = ode45(@(t,y) 2*t, tspan, y0);

Постройте график решения.

plot(t,y,'-o')

Уравнение Ван дер Поля является ОДУ второго порядка

где является скалярным параметром. Перепишите это уравнение как систему ОДУ первого порядка путем замены. Получившаяся система ОДУ первого порядка

function dydt = vdp1(t,y)
%VDP1  Evaluate the van der Pol ODEs for mu = 1
%
%   See also ODE113, ODE23, ODE45.

%   Jacek Kierzenka and Lawrence F. Shampine
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

[t,y] = ode45(@vdp1,[0 20],[2; 0]);

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o')
title('Solution of van der Pol Equation (\mu = 1) with ODE45');
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
legend('y_1','y_2')

ode45 работает только с функциями, которые используют два входных параметров, t и y. Однако можно передать дополнительные параметры, задав их вне функции и передав их, когда вы задаете указатель на функцию.

Решение ОДУ

Переписывание уравнения как системы первого порядка приводит к

odefcn.m представляет эту систему уравнений как функцию, которая принимает четыре входных параметров: t, y, A, и B.

function dydt = odefcn(t,y,A,B)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);

A = 1;
B = 2;
tspan = [0 5];
y0 = [0 0.01];
[t,y] = ode45(@(t,y) odefcn(t,y,A,B), tspan, y0);

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-.')

Для простых систем ОДУ с одним уравнением можно задать y0 как вектор, содержащий несколько начальных условий. Этот метод создает систему независимых уравнений через скалярное расширение, по одному для каждого начального значения и ode45 решает систему, чтобы получить результаты для каждого начального значения.

Создайте анонимную функцию, чтобы представлять уравнение $\mathit{f}\left(\mathit{t},\mathit{y}\right)=-2\mathit{y}+2\cos \left(\mathit{t}\right)\sin \left(2\mathit{t}\right)$. Функция должна принимать два входов для t и y.

yprime = @(t,y) -2*y + 2*cos(t).*sin(2*t);

Создайте вектор различных начальных условий в области значений $\left[-5,5\right]$.

y0 = -5:5; 

Решить уравнение для каждого начального условия за временной интервал $\left[0,3\right]$ использование ode45.

tspan = [0 3];
[t,y] = ode45(yprime,tspan,y0);

Постройте график результатов.

plot(t,y)
grid on
xlabel('t')
ylabel('y')
title('Solutions of y'' = -2y + 2 cos(t) sin(2t), y(0) = -5,-4,...,4,5','interpreter','latex')

Этот метод полезен для решения простых ОДУ с несколькими начальными условиями. Однако метод также имеет некоторые компромиссы:

Уравнение Ван дер Поля является ОДУ второго порядка

Решите уравнение Ван дер Поля с $$\mu =1$$ использование ode45. Функция vdp1.m поставляется с MATLAB ® и кодирует уравнения. Задайте один выход, чтобы вернуть структуру, содержащую информацию о решении, таком как решатель и точки оценки .

tspan = [0 20];
y0 = [2 0];
sol = ode45(@vdp1,tspan,y0)

sol = struct with fields:
     solver: 'ode45'
    extdata: [1x1 struct]
          x: [1x60 double]
          y: [2x60 double]
      stats: [1x1 struct]
      idata: [1x1 struct]

Использование linspace чтобы сгенерировать 250 точек в интервале [0 20]. Оцените решение в этих точках, используя deval.

x = linspace(0,20,250);
y = deval(sol,x);

Постройте график первого компонента решения.

plot(x,y(1,:))

Расширение решения на $$t_f=35$$ использование odextend и добавьте результат к исходному графику.

sol_new = odextend(sol,@vdp1,35);
x = linspace(20,35,350);
y = deval(sol_new,x);
hold on
plot(x,y(1,:),'r')