Решите дифференциальное уравнение первого порядка $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=\mathit{ay}$.

Задайте производную первого порядка при помощи diff и уравнение при помощи = =. Затем решите уравнение при помощи dsolve.

syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y;
S = dsolve(eqn)

S = $$C_1\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}$$

Решение включает константу. Для устранения констант см. Решение дифференциальных уравнений с условиями. Полный рабочий процесс см. в разделе Решение дифференциальных уравнений с частными производными.

Решить дифференциальное уравнение второго порядка $\frac{{\mathit{d}}^2\mathit{y}}{{\mathit{dt}}^2}=\mathit{ay}$.

Задайте производную второго порядка y при помощи diff(y,t,2) и уравнение при помощи ==. Затем решите уравнение при помощи dsolve.

syms y(t) a
eqn = diff(y,t,2) == a*y;
ySol(t) = dsolve(eqn)

ySol(t) = $$C_1\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{-\sqrt{a}\hspace{0.17em}t}+C_2\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{\sqrt{a}\hspace{0.17em}t}$$

Решите дифференциальное уравнение первого порядка $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=\mathit{ay}$ с начальным условием $$y(0)=5$$.

Задайте начальное условие как второй вход для dsolve при помощи == оператор. Установка условия устраняет произвольные константы, такие как C1, C2, ..., из решения.

syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y;
cond = y(0) == 5;
ySol(t) = dsolve(eqn,cond)

ySol(t) = $$5\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}$$

Затем решите дифференциальное уравнение второго порядка $\frac{{\mathit{d}}^2\mathit{y}}{{\mathit{dt}}^2}={\mathit{a}}^2\mathit{y}$ с начальными условиями $$y(0)=b$$ и $$y^{\prime }(0)=1$$.

Задайте второе начальное условие путем назначения diff(y,t) на Dy а затем использование Dy(0) == 1.

syms y(t) a b
eqn = diff(y,t,2) == a^2*y;
Dy = diff(y,t);
cond = [y(0)==b, Dy(0)==1];
ySol(t) = dsolve(eqn,cond)

ySol(t) = 
$$\frac{{\mathrm{e}}^{a\hspace{0.17em}t}\hspace{0.17em}\left(a\hspace{0.17em}b+1\right)}{2\hspace{0.17em}a}+\frac{{\mathrm{e}}^{-a\hspace{0.17em}t}\hspace{0.17em}\left(a\hspace{0.17em}b-1\right)}{2\hspace{0.17em}a}$$

Это дифференциальное уравнение второго порядка имеет два заданных условия, поэтому константы исключаются из решения. В целом, чтобы исключить константы из решения, количество условий должно равняться порядку уравнения.

Решить систему дифференциальных уравнений

Задайте систему уравнений как вектор. dsolve возвращает структуру, содержащую решения.

syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y];
S = dsolve(eqns)

S = struct with fields:
    z: [1x1 sym]
    y: [1x1 sym]

Доступ к решениям путем обращения к элементам структуры.

ySol(t) = S.y

ySol(t) = $$C_1\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)+C_2\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

zSol(t) = S.z

zSol(t) = $$C_2\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)-C_1\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

При решении нескольких функций dsolve возвращает структуру по умолчанию. Кроме того, можно назначить решения функциям или переменным непосредственно путем явного определения выходов как вектора. dsolve сортирует выходы в алфавитном порядке с помощью symvar.

Решить систему дифференциальных уравнений и назначить выходы функциям.

syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t)==z, diff(z,t)==-y];
[ySol(t),zSol(t)] = dsolve(eqns)

ySol(t) = $$C_1\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)+C_2\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

zSol(t) = $$C_2\hspace{0.17em}\cos \left(t\right)-C_1\hspace{0.17em}\sin \left(t\right)$$

Решите дифференциальное уравнение $$\frac{\partial }{\partial t}y(t)=e^{-y(t)}+y(t)$$. dsolve возвращает явное решение в терминах функции Lambert W, которая имеет постоянное значение.

syms y(t)
eqn = diff(y) == y+exp(-y)

eqn(t) = 
$$\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }y\left(t\right)={\mathrm{e}}^{-y\left(t\right)}+y\left(t\right)$$

sol = dsolve(eqn)

sol = $${\mathrm{W}\text{<a href="matlab:doc symbolic/lambertw">lambertw</a>}}_0\left(-1\right)$$

Чтобы вернуть неявные решения дифференциального уравнения, установите 'Implicit' опция для true. Неявное решение имеет форму $$F(y(t))=g(t)$$.

sol = dsolve(eqn,'Implicit',true)

sol = 
$$\left(\begin{array}{c}\left({\int \frac{{\mathrm{e}}^y}{y\hspace{0.17em}{\mathrm{e}}^y+1}\mathrm{d}y|}_{y=y\left(t\right)}\right)=C_1+t\\ {\mathrm{e}}^{-y\left(t\right)}\hspace{0.17em}\left({\mathrm{e}}^{y\left(t\right)}\hspace{0.17em}y\left(t\right)+1\right)=0\end{array}\right)$$

Если dsolve не может найти явное решение дифференциального уравнения аналитически, затем возвращает пустой символьный массив. Вы можете решить дифференциальное уравнение, используя численный решатель MATLAB ®, такой как ode45. Для получения дополнительной информации см. Решение дифференциального уравнения второго порядка численно.

syms y(x)
eqn = diff(y) == (x-exp(-x))/(y(x)+exp(y(x)));
S = dsolve(eqn)

Warning: Unable to find symbolic solution.

 
S =
 
[ empty sym ]
 

В качестве альтернативы можно попробовать найти неявное решение дифференциального уравнения путем определения 'Implicit' опция для true. Неявное решение имеет форму $$F(y(x))=g(x)$$.

S = dsolve(eqn,'Implicit',true)

S = 
$${\mathrm{e}}^{y\left(x\right)}+\frac{{y\left(x\right)}^2}{2}=C_1+{\mathrm{e}}^{-x}+\frac{x^2}{2}$$

Решите дифференциальное уравнение $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dt}}=\frac{\mathit{a}}{\sqrt{\mathit{y}}}+\mathit{y}$ с условием $$y(a)=1$$. По умолчанию dsolve применяет упрощения, которые в целом не являются правильными, но дают более простые решения. Для получения дополнительной информации см. «Алгоритмы».

syms a y(t)
eqn = diff(y) == a/sqrt(y) + y;
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn, cond)

ySimplified = 
$${\left({\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}-\frac{3\hspace{0.17em}a}{2}+\log \left(a+1\right)}-a\right)}^{2/3}$$

Чтобы вернуть решения, которые включают все возможные значения параметра $$a$$, отключите упрощения путем установки 'IgnoreAnalyticConstraints' на false.

yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false)

yNotSimplified = 
$$\begin{array}{l}\{\begin{array}{cl}\{\begin{array}{cl}\left\{{\sigma }_1\right\}& \text{ если }-\frac{\pi }{2}<{\sigma }_2\\ \left\{{\sigma }_1,-{\left(-a+{\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}-\frac{3\hspace{0.17em}a}{2}+\log \left(a+{\left(-\frac{1}{2}+{\sigma }_3\right)}^{3/2}\right)+2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}{C}_2\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\right)}^{2/3}\hspace{0.17em}\left(\frac{1}{2}+{\sigma }_3\right)\right\}& \text{ если }{\sigma }_2\le -\frac{\pi }{2}\end{array}& \text{ если }{C}_2\in \mathbb{Z}\\ \varnothing & \text{ если }{C}_2\notin \mathbb{Z}\end{array}\\ \\ \mathrm{where}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_1={\left(-a+{\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}-\frac{3\hspace{0.17em}a}{2}+\log \left(a+1\right)+2\hspace{0.17em}\pi \hspace{0.17em}{C}_2\hspace{0.17em}\mathrm{i}}\right)}^{2/3}\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_2=\text{angle}\left({\mathrm{e}}^{\frac{3\hspace{0.17em}{C}_1}{2}+\frac{3\hspace{0.17em}t}{2}}-a\right)\\ \\ \mathrm{ }{\sigma }_3=\frac{\sqrt{3}\hspace{0.17em}\mathrm{i}}{2}\end{array}$$

Решить дифференциальное уравнение второго порядка $$(x^2-1{)}^2\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}y(x)+(x+1)\frac{\partial }{\partial x}y(x)-y(x)=0$$. dsolve возвращает решение, которое содержит член с недооцененным интегралом.

syms y(x)
eqn = (x^2-1)^2*diff(y,2) + (x+1)*diff(y) - y == 0;
S = dsolve(eqn)

S = 
$$C_2\hspace{0.17em}\left(x+1\right)+C_1\hspace{0.17em}\left(x+1\right)\hspace{0.17em}\int \frac{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{2\hspace{0.17em}\left(x-1\right)}}\hspace{0.17em}{\left(1-x\right)}^{1/4}}{{\left(x+1\right)}^{9/4}}\mathrm{d}x$$

Чтобы вернуть последовательные решения дифференциального уравнения вокруг $$x=-1$$, установите 'ExpansionPoint' на -1. dsolve возвращает два линейно независимых решения в терминах расширения серии Puiseux.

S = dsolve(eqn,'ExpansionPoint',-1)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}x+1\\ \frac{1}{{\left(x+1\right)}^{1/4}}-\frac{5\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{3/4}}{4}+\frac{5\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{7/4}}{48}+\frac{5\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{11/4}}{336}+\frac{115\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{15/4}}{33792}+\frac{169\hspace{0.17em}{\left(x+1\right)}^{19/4}}{184320}\end{array}\right)$$

Найдите другие последовательные решения вокруг точки расширения $$\infty$$ путем установки 'ExpansionPoint' на Inf.

S = dsolve(eqn,'ExpansionPoint',Inf)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}x-\frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}-\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}\\ \frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}+\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}+\frac{1}{90\hspace{0.17em}{x}^5}+1\end{array}\right)$$

Порядок усечения по умолчанию для последовательного расширения равен 6. Чтобы получить больше членов в решениях серии Puiseux, установите 'Order' до 8.

S = dsolve(eqn,'ExpansionPoint',Inf,'Order',8)

S = 
$$\left(\begin{array}{c}x-\frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}-\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}-\frac{1}{90\hspace{0.17em}{x}^5}-\frac{37}{336\hspace{0.17em}{x}^6}\\ \frac{1}{6\hspace{0.17em}{x}^2}+\frac{1}{8\hspace{0.17em}{x}^4}+\frac{1}{90\hspace{0.17em}{x}^5}+\frac{37}{336\hspace{0.17em}{x}^6}+\frac{37}{1680\hspace{0.17em}{x}^7}+1\end{array}\right)$$

Решите дифференциальное уравнение $\frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}=\frac{1}{{\mathit{x}}^2}{\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}$ без определения начального условия.

syms y(x)
eqn = diff(y) == exp(-1/x)/x^2;
ySol(x) = dsolve(eqn)

ySol(x) = 
$$C_1+{\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}$$

Чтобы исключить константы из решения, задайте начальное условие $\mathit{y}\left(0\right)=1$.

cond = y(0) == 1;
S = dsolve(eqn,cond)

S = 
$${\mathrm{e}}^{-\frac{1}{x}}+1$$

Функция ${\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}$ в решении ySol(x) имеет различные односторонние пределы в $$x=0$$. Функция имеет правый предел, $\underset{\mathit{x}\to 0^{+}}{\lim }{\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}=0$, но он имеет неопределенный предел левой стороны, $\underset{\mathit{x}\to 0^{-}}{\lim }{\mathit{e}}^{-\frac{1}{\mathit{x}}}=\infty$.

Когда вы задаете условие y(x0) для функции с различными односторонними пределами в x0, dsolve рассматривает условие как предел справа, $\lim \mathit{x}\to {\mathit{x}}_0^{+}$.