Поиск ранга матрицы

syms a b c d
A = [a b; c d];
rank(A)

ans =
     2

Ранг символьных матриц точен

Символьные вычисления возвращают точный ранг матрицы, в то время как числовые вычисления могут страдать от ошибок округления. Это точное вычисление полезно для плохо обусловленных матриц, таких как гильбертова матрица. Ранг Гильбертовой матрицы порядка n - n.

Найдите ранг Гильбертовой матрицы порядка 15 численно. Затем преобразуйте числовую матрицу в символьную матрицу, используя sym и найти ранг символически.

H = hilb(15);
rank(H)
rank(sym(H))

ans =
    12
ans =
    15

Символическое вычисление возвращает правильный ранг 15. Численное вычисление возвращает неправильный ранг 12 из-за ошибок округления.

Ранговая функция не упрощает символьные вычисления

Рассмотрим эту матрицу

После упрощения 1-sin(x)^2 на cos(x)^2, матрица имеет ранг 1. Однако, rank возвращает неправильный ранг 2 потому что он не учитывает тождества, удовлетворяемые специальными функциями, происходящими в элементах матрицы. Продемонстрировать неправильный результат.

syms x
A = [1-sin(x) cos(x); cos(x) 1+sin(x)];
rank(A)

ans =
     2

rank возвращает неправильный результат, поскольку выходы промежуточных шагов не упрощены. Несмотря на отсутствие безотказного обходного пути, можно упростить символьные выражения с помощью числового замещения и оценки подстановки с помощью vpa.

Найдите правильный ранг путем подстановки x с числом и оценка результата с помощью vpa.

rank(vpa(subs(A,x,1)))

ans =
     1

Однако, даже после числового подстановки, rank может вернуть неправильные результаты из-за ошибок округления.