Полилогарифмы числовых и символьных аргументов

polylog возвращает числа с плавающей запятой или точные символьные результаты в зависимости от используемых аргументов.

Вычислите полилогарифмы числовых входных параметров. polylog функция возвращает числа с плавающей запятой.

Li = [polylog(3,-1/2), polylog(4,1/3), polylog(5,3/4)]

Li =
  -0.4726    0.3408    0.7697

Вычислите полилогарифмы тех же входных параметров, преобразовав их в символические объекты. Для большинства символических (точных) чисел, polylog возвращает неразрешенные символические вызовы.

symA = [polylog(3,sym(-1/2)), polylog(sym(4),1/3), polylog(5,sym(3/4))]

symA =
[ polylog(3, -1/2), polylog(4, 1/3), polylog(5, 3/4)]

Аппроксимируйте символьные результаты с числом по умолчанию 32 значащих цифры при помощи vpa.

Li = vpa(symA)

Li =
[ -0.47259784465889687461862319312655,...
0.3407911308562507524776409440122,...
0.76973541059975738097269173152535]

The polylog функция также принимает нецелочисленные значения порядка n. Вычислите polylog для сложных аргументов.

Li = polylog(-0.2i,2.5)

Li =
  -2.5030 + 0.3958i

Явные выражения для полилогарифмов

Если порядок полилогарифма 0, 1или отрицательное целое число, тогда polylog возвращает явное выражение.

Полилогарифм n = 1 является логарифмической функцией.

syms x
Li = polylog(1,x)

Li =
-log(1 - x)

Полилогарифмы n < 1 являются рациональными выражениями.

Li = polylog(0,x)

Li =
-x/(x - 1)

Li = polylog(-1,x)

Li =
x/(x - 1)^2

Li = polylog(-2,x)

Li =
-(x^2 + x)/(x - 1)^3

Li = polylog(-3,x)

Li =
(x^3 + 4*x^2 + x)/(x - 1)^4

Li = polylog(-10,x)

Li =
-(x^10 + 1013*x^9 + 47840*x^8 + 455192*x^7 + ...
1310354*x^6 + 1310354*x^5 + 455192*x^4 +...
47840*x^3 + 1013*x^2 + x)/(x - 1)^11

Специальные значения

polylog функция имеет специальные значения для некоторых параметров.

Если второй аргумент 0, тогда полилогарифм равен 0 для любого целого значения первого аргумента. Если второй аргумент 1, тогда полилогарифм является Дзета-функцией Римана первого аргумента.

syms n
Li = [polylog(n,0), polylog(n,1)]

Li =
[ 0, zeta(n)]

Если второй аргумент -1, тогда полилогарифм имеет специальное значение для любого целого значения первого аргумента, кроме 1.

assume(n ~= 1)
Li = polylog(n,-1)

Li =
zeta(n)*(2^(1 - n) - 1)

Чтобы сделать другие расчеты, очистите предположение на n путем воссоздания его используя syms.

syms n

Вычислите другие специальные значения функции полилогарифма.

Li = [polylog(4,sym(1)), polylog(sym(5),-1), polylog(2,sym(i))]

Li =
[ pi^4/90, -(15*zeta(5))/16, catalan*1i - pi^2/48]

График полилогарифмов

Постройте график полилогарифмов целочисленных порядков n от -3 до 1 в интервале x = [-4 0.3].

syms x
for n = -3:1
  fplot(polylog(n,x),[-4 0.3])
  hold on
end
title('Polylogarithm')
legend('show','Location','best')
hold off

Выражения указателя, содержащие полилогарифмы

Многие функции, такие как diff и int, может обрабатывать выражения, содержащие polylog.

Дифференцируйте эти выражения, содержащие полилогарифмы.

syms n x
dLi = diff(polylog(n, x), x)
dLi = diff(x*polylog(n, x), x)

dLi =
polylog(n - 1, x)/x

dLi =
polylog(n, x) + polylog(n - 1, x)

Вычислите интегралы этих выражений, содержащих полилогарифмы.

intLi = int(polylog(n, x)/x, x)
intLi = int(polylog(n, x) + polylog(n - 1, x), x)

intLi =
polylog(n + 1, x)

intLi =
x*polylog(n, x)