Exponenta Banner

zeta

Дзета-функция Римана

Свернуть все на странице

Синтаксис

zeta(z)
zeta(n,z)

Описание

пример

zeta(z) оценивает дзета-функцию Римана в элементах z, где z является числовым или символьным входом.

пример

zeta(n,z) возвращает nпервая производная zeta(z).

Примеры

Найдите Дзета-функцию Римана для числовых и символьных входов

Найдите дзета-функцию Римана для числовых входов.

zeta([0.7 i 4 11/3])
ans =
  -2.7784 + 0.0000i   0.0033 - 0.4182i   1.0823 + 0.0000i   1.1094 + 0.0000i

Найдите дзета-функцию Римана символически путем преобразования входов в символические объекты с помощью sym. zeta функция возвращает точные результаты.

zeta(sym([0.7 i 4 11/3]))
ans =
[ zeta(7/10), zeta(1i), pi^4/90, zeta(11/3)]

zeta возвращает недооцененные вызовы функции для символьных входов, которые не имеют реализованных результатов. Реализованные результаты перечислены в Алгоритмах.

Найдите дзета-функцию Римана для матрицы символьных выражений.

syms x y
Z = zeta([x sin(x); 8*x/11 x + y])
Z =
[        zeta(x), zeta(sin(x))]
[ zeta((8*x)/11),  zeta(x + y)]

Поиск Дзета-функции Римана для больших входов

Для значений |z|>1000, zeta(z) может вернуть недооцененный вызов функции. Использовать expand вызвать zeta для вычисления вызова функции.

zeta(sym(1002))
expand(zeta(sym(1002)))
ans =
zeta(1002)
ans =
(1087503...312*pi^1002)/15156647...375

Дифференцируйте Дзета-функцию Римана

Найдите третью производную дзета-функции Римана в точке x.

syms x
expr = zeta(3,x)
expr =
zeta(3, x)

Найдите третью производную в x = 4 путем подстановки 4 для x использование subs.

expr = subs(expr,x,4)
expr =
zeta(3, 4)

Оценка expr использование vpa.

expr = vpa(expr)
expr =
-0.07264084989132137196244616781177

График нулей дзета-функции Римана

Нули дзета-функции Римана zeta(x+i*y) встречаются вдоль линии x = 1/2. Постройте график абсолютного значения функции вдоль этой линии для 0<y<30 для просмотра первых трех нулей.

syms y
fplot(abs(zeta(1/2+1i*y)),[0 30])
grid on

Figure contains an axes. The axes contains an object of type functionline.

Входные параметры

свернуть все

Вход, заданный как число, вектор, матрица или многомерный массив или как символьное число, переменная, вектор, матрица, многомерный массив, функция или выражение.

Порядок производной, заданный как неотрицательное целое число.

Подробнее о

свернуть все

Дзета-функция Римана

Дзета-функция Римана определяется

ζ(z)=∑k=1∞1kz

Ряд сходится только, если действительная часть z больше 1. Определение функции распространяется на всю комплексную плоскость, кроме простого полюса z = 1, путем аналитического продолжения.

Совет

  • Оценка с плавающей точкой медлена для больших значений n.

Алгоритмы

Реализованы следующие точные значения.

  • ζ(0)=−12

  • ζ(1,0)=−log(π)2−log(2)2

  • ζ(∞)=1

  • Если z<0 и z является четным целым числом, ζ(z)=0.

  • Если z<0 и z является нечетным целым числом

    ζ(z)=−bernoulli(1−z)1−z

    Для z<−1000, zeta(z) возвращает недооцененный вызов функции. Для принудительной оценки используйте expand(zeta(z)).

  • Если z>0 и z является четным целым числом

    ζ(z)=(2π)z|bernoulli(z)|2z!

    Для z>1000, zeta(z) возвращает недооцененный вызов функции. Для принудительной оценки используйте expand(zeta(z)).

  • Если n>0, ζ(n,∞)=0.

  • Если аргумент не вычисляется на указанное специальное значение, zeta возвращает символьный вызов функции.

См. также

| | |

Представлено до R2006a

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка