Максимумы преобразования Вейвлета
[___] = wtmm( использует только шкалы, большие или равные x,'MinRegressionScale',scale)scale для оценки глобальной экспоненты Держателя. Этот синтаксис может включать любой из выходных аргументов, используемых в предыдущих синтаксисах.
[ также возвращает мультиразрешение функции структуры hexp,tauq,structfunc]
= wtmm(___)structfunc, для глобальной оценки экспоненты Держателя. Этот синтаксис может включать любой из входных параметров, используемых в предыдущих синтаксисах.
wtmm(___,'ScalingExponent','local') без выходных аргументов строит графики вейвлета maxima линий в текущую фигуру. Оценки локальных экспонентов держателя отображаются в таблице справа от графика.
[___] = wtmm(___, возвращает экспоненту Holder и другие заданные выходы с дополнительными опциями, заданными одним или несколькими Name,Value)Name,Value аргументы в виде пар.
Оцените глобальный показатель Холдера для броуновского движения. Этот монофрактальный сигнал имеет показатель Держателя приблизительно 0,5.
rng(100); x = cumsum(randn(2^15,1)); hexp = wtmm(x)
hexp = 0.5010
Подтвердите, что для монофрактального сигнала масштабирующие экспоненты являются линейной функцией моментов. Для многофракционных сигналов экспоненты являются нелинейной функцией моментов.
Загрузите сигнал, который содержит два временных рядов, каждый с 8000 выборок. Ts1 является мультифрактальным сигналом и Ts2 является монофрактальным дробным брауновским сигналом. Получите экспоненты с помощью wtmm.
load RWdata;
[hexp1,tauq1] = wtmm(Ts1);
[hexp2,tauq2] = wtmm(Ts2);Постройте график показателей масштабирования.
expplot = plot(-2:0.1:2,tauq2,'b-o',-2:0.1:2,tauq1,'r-^'); grid on; expplot(1).MarkerFaceColor = 'b'; expplot(2).MarkerFaceColor = 'r'; legend('Ts2-Monofractal','Ts1-Multifractal','Location','SouthEast'); title('Monofractal vs. Multifractal Scaling Exponents'); xlabel('Qth Moment'); ylabel('Scaling Exponents');
Ts2, который является монофрактальным сигналом, является линейной функцией. Ts1, мультифрактальный сигнал, не линейен.
Используйте выход структурной функции wtmm для анализа броуновского сигнала движения.
Создайте дробное броуновское движение с показателем Холдера 0,6.
Brn = wfbm(0.6,2^15); [hexp,tauq,structfunc] = wtmm(Brn);
Сравните вычисленный показатель Держателя с теоретическим значением 0,6.
hexp
hexp = 0.6072
Используйте данные в structfunc выход и lscov функция для выполнения регрессии данных.
x = ones(length(structfunc.logscales),2); x(:,2) = structfunc.logscales; betahat = lscov(x,structfunc.Tq,structfunc.weights); betahat = betahat(2,:);
Постройте и сравните градации масштаба из tauq выход и из выходного сигнала регрессированной структурной функции.
subplot(1,2,1) plot(-2:.1:2,tauq) grid on title('From tauq Output') xlabel('Qth Moment') ylabel('Scaling Exponents') subplot(1,2,2) plot(-2:.1:2,betahat(1:41)) grid on title('From structfunc Output') xlabel('Qth Moment')
Графики совпадают и показывают линейную зависимость между моментами и экспонентами. Поэтому сигнал является монофрактальным. Экспонента Держателя вернулась в hexp - уклон этой линии.
Используя сигнал cusp и сигнал, содержащий дельта-функции, сгенерируйте их локальные экспоненты Holder.
Сигнал Cusp
Загрузите и постройте график сигнала cusp. Обратите внимание на различие между двумя амортизаторами.
load cusp; plot(cusp) grid on xlabel('Sample') ylabel('Amplitude')
Уравнение для этого сигнала cusp задает показатель Держателя 0,5 на выборке 241 и показатель Держателя 0,3 на выборке 803.
-0.2*abs(x-241)^0.5 - 0.5*abs(x-803)^0.3 + 0.00346*x + 1.34
Получите локальные экспоненты Holder и постройте график максимума модуля.
wtmm(cusp,'ScalingExponent','local');
Экспоненты Держателя в выборках 241 и 803 очень близки к значениям, заданным в уравнении cusp сигнала. Более высокое значение Держателя на выборке 241 указывает, что сигнал в этой точке ближе к тому, чтобы быть дифференцируемым, чем сигнал на выборке 803, который имеет меньшее значение Держателя.
Функции дельты
Создайте и постройте график двух дельта-функций.
x = zeros(1e3,1); x([200 500]) = 1; plot(x) grid on xlabel('Sample') ylabel('Amplitude')
Получите локальные экспоненты Holder, используя количество октав по умолчанию, которое в этом случае равно 7. Постройте график максимума модуля. Дельта-функция имеет показатель Держателя -1.
wtmm(x,'ScalingExponent','local');
Получите локальные экспоненты Holder с помощью 5 октав и сравните график максимума модуля с графиком с помощью числа октав по умолчанию.
wtmm(x,'ScalingExponent','local','NumOctaves',5);
Уменьшение количества шкал обеспечивает больше разделения по частоте и меньше перекрытия между линиями максимума модуля дельта-функций.
Алгоритм WTMM находит особенности в сигнале путем определения максимумов. Алгоритм сначала вычисляет непрерывное вейвлет-преобразование, используя вторую производную Гауссова вейвлета с 10 голосами на октаву. Вейвлет, который удовлетворяет этим критериям, это мексиканская шляпа, или Рикер, вейвлет. Затем алгоритм определяет максимумы модуля для каждой шкалы. WTMM предназначен для использования с большими наборами данных, чтобы было доступно достаточно выборок, чтобы точно определить максимумы.
Определение максимума модуля в x0 точек и s0 шкалы
где x находится в правом или левом районе x0. Когда x находится в противоположном районе x0, определение является
. Алгоритм для нахождения дополнительных максимумов повторяется для значений в этой шкале. Затем алгоритм переходит вверх через более мелкие шкалы, проверяя, выравниваются ли максимумы между шкалами. Если максимум сходится к самой мелкой шкале, это истинный максимум и указывает особенность в этой точке.
Когда каждая особенность определяется, алгоритм затем оценивает свою экспоненту Держателя. Экспоненты-держатели указывают степень дифференцируемости для каждой особенности, которая классифицирует силу особенности. Экспонента Держателя, меньшая или равная 0, указывает на разрыв в этом месте. Экспоненты держателя, большие или равные 1, указывают, что сигнал дифференцируемый в этом месте. Значения держателя от 0 до 1 указывают на непрерывное, но не дифференцируемое расположение. Они указывают, насколько близок сигнал на этой выборке, чтобы быть дифференцируемым. Экспоненты держателя, близкие к 0, указывают на местоположения сигналов, которые менее дифференцируемы, чем местоположения с экспонентами ближе к 1. Сигнал более плавен в местах с более высокими локальными экспонентами Holder.
Для сигналов с несколькими cusp-подобными особенностями и экспонентами Держателя, которые имеют большие изменения, вы задаете алгоритм, чтобы вернуть локальные экспоненты Держателя, которые обеспечивают отдельные значения для каждой особенности. Для сигналов с многочисленными экспонентами Держателя, которые имеют относительно небольшие изменения, вы задаете алгоритм, чтобы вернуть глобальную экспоненту Держателя. Глобальный показатель Держателя применяется ко всему сигналу. Для сигналов с многими особенностями можно уменьшить количество найденных максимумов, ограничив алгоритм началом или регрессом до определенной минимальной или максимальной шкалы, соответственно. Подробную информацию о WTMM см. в разделах [1] и [3].
[1] Mallat, S., and W. L. Hwang. «Особенность обнаружение и обработка с Вейвлетами». Транзакции IEEE по теории информации. Том 38, № 2, март 1992, стр. 617-643.
[2] Вендт, Х. и П. Эбри. «Многофракциональные тесты с использованием Bootstrapped Wavelet Leaders». Транзакции IEEE на. Обработка сигналов. Том 55, № 10, 2007, стр. 4811-4820.
[3] Арнеодо, А., Б. Аудит, Н. Декостер, Ж.-Ф. Музи и К. Вайянт. «Многофракторный формализм на основе вейвлетов: применение к последовательностям ДНК, спутниковые изображения структуры облака и данные фондового рынка». Наука о бедствиях: нарушения климата, сердечные приступы и крахи рынка. Bunde, A., J. Kropp, and H. J. Schellnhuber, Eds. 2002, стр 26–102.