gram

Управляемость и наблюдаемость грамиана

Синтаксис

Wc = gram(sys,'c') Wc = gram(sys,'o') Wc = gram(___,opt)

Описание

Wc = gram(sys,'c') вычисляет грамиан управляемости пространства состояний (ss) модель sys.

Wc = gram(sys,'o') вычисляет грамиан наблюдаемости ss модель sys.

Wc = gram(___,opt) вычисляет ограниченный временем или ограниченный частотой грамиан. opt набор опции, который задает время или интервалы частоты для расчета. Создайте opt использование gramOptions команда.

Можно использовать грамиан, чтобы изучить управляемость и свойства наблюдаемости моделей в пространстве состояний и для снижения сложности модели [1]. У них есть лучшие числовые свойства, чем управляемость и матрицы наблюдаемости, сформированные ctrb и obsv.

Учитывая модель в пространстве состояний непрерывного времени

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

грамиан управляемости задан

$W_{c} = \int_{0}^{\infty} e^{A τ} B B^{T} e^{A^{T} τ} d τ$

Грамиан управляемости положителен определенный, если и только если (A, B) управляемо.

Грамиан наблюдаемости задан

$W_{o} = \int_{0}^{\infty} e^{A^{T} τ} C^{T} C e^{A τ} d τ$

Грамиан наблюдаемости положителен определенный, если и только если (A, C) заметно.

Дубликаты дискретного времени управляемости и наблюдаемости грамиана

$\begin{matrix} W_{c} = \sum_{k = 0}^{\infty} A^{k} B B^{T} {(A^{T})}^{k}, & W_{o} = \end{matrix} \sum_{k = 0}^{\infty} {(A^{T})}^{k} C^{T} C A^{k}$

соответственно.

Используйте ограниченный временем или ограниченный частотой грамиан, чтобы исследовать управляемость или наблюдаемость состояний в интервалах частоты или определенном времени. Определение этого грамиана как описано в [2].

Примеры

Вычислите ограниченный частотой грамиан

Вычислите грамиан управляемости следующей модели в пространстве состояний. Фокусируйте расчет на интервале частоты с большей частью энергии.

sys = ss([-.1 -1;1 0],[1;0],[0 1],0);

Модель содержит пик на уровне 1 рад/с. Используйте gramOptions задавать интервал вокруг той частоты.

opt = gramOptions('FreqIntervals',[0.8 1.2]);
gc = gram(sys,'c',opt)

gc = 2×2

    4.2132   -0.0000
   -0.0000    4.2433

Ограничения

Матрица A должна быть устойчивой (все собственные значения имеют отрицательную действительную часть в непрерывное время и величину строго меньше чем один в дискретное время).

Алгоритмы

Грамиан управляемости _Wc получен путем решения непрерывного времени уравнение Ляпунова

$A W_{c} + W_{c} A^{T} + B B^{T} = 0$

или его дубликат дискретного времени

$A W_{c} A^{T} - W_{c} + B B^{T} = 0$

Точно так же грамиан наблюдаемости _Wo решает уравнение Ляпунова

$A^{T} W_{o} + W_{o} A + C^{T} C = 0$

в непрерывное время и уравнение Ляпунова

$A^{T} W_{o} A - W_{o} + C^{T} C = 0$

в дискретное время.

Расчет ограниченного временем и ограниченного частотой грамиана как описано в [2].

Ссылки

[1] Kailath, T., линейные системы, Prentice Hall, 1980.

[2] Гавронский, W. и Дж.Н. Джуэнг. “Снижение сложности модели в Интервалах Ограниченного времени и Частоты”. Международный журнал Системной Науки. Издание 21, Номер 2, 1990, стр 349–376.

Представлено до R2006a

Документация