Пассивные системы

Линейная система G (s) является пассивным элементом когда все траектории ввода-вывода $$(u(t),y(t))$$ удовлетворить

где $$y^T(t)$$ обозначает транспонирование $$y(t)$$.

Чтобы измериться, "насколько пассивный" система, мы используем индексы пассивности.

Система G "вводится строго пассивная" (ISP) когда $$\nu >0$$. $$\nu$$ также называется "вход пассивность прямого распространения" (IFP) индексируют, и соответствует минимальному действию прямого распространения, должен был сделать системный пассивный элемент.

Система G "выводится строго пассивная" (OSP) когда $$\rho >0$$. $$\rho$$ также называется "выходная пассивность обратной связи" (OFP) индексируют, и соответствует минимальному действию обратной связи, должен был сделать системный пассивный элемент.

Система "очень строго пассивна" (VSP) если $$\tau >0$$.

Пример схемы

Рассмотрите следующий пример. Мы берем ток $$I$$ как вход и напряжение $$V$$ как выход. На основе тока Кирхгоффа и закона о напряжении, мы получаем передаточную функцию для $$G(s)$$,

Пусть $$R=2$$, $$L=1$$ и $$C=0.1$$.

R = 2; L = 1; C = 0.1; 
s = tf('s');
G = (L*s+R)*(R*s+1/C)/(L*s^2 + 2*R*s+1/C);

Используйте isPassive проверять ли $$G(s)$$ пассивный элемент.

PF = isPassive(G)

PF = logical
   1

Начиная с PF = верный, $$G(s)$$ пассивный элемент. Используйте getPassiveIndex вычислить индексы пассивности $$G(s)$$.

% Input passivity index
nu = getPassiveIndex(G,'in')

nu = 2

% Output passivity index
rho = getPassiveIndex(G,'out')

rho = 0.2857

% I/O passivity index
tau = getPassiveIndex(G,'io')

tau = 0.2642

С тех пор $$\tau >0$$, система $$G(s)$$ очень строго пассивно.

Характеристика частотного диапазона

Линейная система является пассивным элементом, если и только если это "положительно действительный":

Самое маленькое собственное значение левой стороны связано с входным индексом пассивности $$\nu$$:

где $${\lambda }_{\min }$$ обозначает самое маленькое собственное значение. Точно так же, когда $$G(s)$$ минимальная фаза, выходным индексом пассивности дают:

Проверьте это для примера схемы. Постройте годограф Найквиста передаточной функции схемы.

nyquist(G)

Целый годограф Найквиста находится в правой полуплоскости так $$G(s)$$ положителен действительный. Крайняя левая точка на кривой Найквиста $$(x,y)=(2,0)$$ таким образом, входной индекс пассивности $$\nu =2$$, то же значение мы получили ранее. Точно так же крайняя левая точка на Найквисте изгибается для $$G^{-1}(s)$$ дает выходное значение индекса пассивности $$\rho =0.286$$.

Относительный индекс пассивности

Можно показать что "положительное действительное" условие

эквивалентно небольшому условию усиления

Относительный индекс пассивности (R-индекс) является пиковым усилением по частоте $$(I-G)(I+G{)}^{-1}$$ когда $$I+G$$ минимальная фаза, и $$+\infty$$ в противном случае:

Во временном интервале R-индекс является самым маленьким $$r>0$$ таким образом, что

Система $$G(s)$$ пассивный элемент если и только если $$R<1$$, и меньшее $$R$$ более пассивное, которое система. Используйте getPassiveIndex вычислить R-индекс для примера схемы.

R = getPassiveIndex(G)

R = 0.5556

Получившееся $$R$$ значение указывает, что схема является очень пассивной системой.