Документация

О полиномиальных моделях

Полиномиальными моделями для кривых дают

где n + 1 является порядком полинома, n является степенью полинома и 1 ≤ n ≤ 9. Порядок дает количество коэффициентов, чтобы быть подходящим, и степень дает самую высокую степень переменного предиктора.

В этом руководстве многочлены определены в терминах их степени. Например, (кубическим) полиномом третьей степени дают

Полиномы часто используются, когда простая эмпирическая модель требуется. Можно использовать полиномиальную модель для интерполяции или экстраполяции, или охарактеризовать данные с помощью глобальной подгонки. Например, преобразование температуры к напряжению для термопары Типа J в от 0 до 760^o диапазон температур описан полиномом седьмой степени.

Основные преимущества аппроксимаций полиномом включают разумную гибкость для данных, которые являются не слишком сложными, и они линейны, что означает, что подходящий процесс прост. Основной недостаток - то, что подгонки высокой степени могут стать нестабильными. Кроме того, полиномы любой степени могут обеспечить хорошую подгонку в области значений данных, но могут отличаться дико вне той области значений. Поэтому проявите осторожность при экстраполировании полиномами.

Когда вы соответствуете полиномам высокой степени, подходящая процедура использует значения предиктора в качестве базиса для матрицы с очень большими значениями, которые могут привести к масштабирующимся проблемам. Чтобы обработать это, необходимо нормировать данные путем центрирования его в нулевом среднем значении и масштабирования его к модульному стандартному отклонению. Нормируйте данные путем выбора Center и флажка шкалы в приложении Curve Fitting.

Подходящие полиномиальные модели в интерактивном режиме

Для кривых, Polynomial модель приспосабливает полином в x.

Для поверхностей, Polynomial модель приспосабливает полином в x и y.

Можно задать следующие опции:

Для примера, сравнивающего различные аппроксимации полиномом, смотрите, Выдерживают сравнение, Помещается в Приложение Curve Fitting.

Подходящие полиномы Используя подходящую функцию

В этом примере показано, как использовать fit функционируйте, чтобы соответствовать полиномам к данным. Подгонка шагов и кривые полинома графика и поверхность, задайте подходящие опции, возвратите статистику качества подгонки, вычислите предсказания и покажите доверительные интервалы.

Полиномиальная модель библиотеки является входным параметром к функциям fittype и подгонке. Задайте тип модели poly сопровождаемый степенью в области x (до 9) или X и Y (до 5). Например, вы задаете квадратичную кривую с 'poly2' , или кубическая поверхность с 'poly33' .

load census;
fitpoly2=fit(cdate,pop,'poly2')
% Plot the fit with the plot method.
plot(fitpoly2,cdate,pop)
% Move the legend to the top left corner.
legend('Location','NorthWest' );

fitpoly2 = 

     Linear model Poly2:
     fitpoly2(x) = p1*x^2 + p2*x + p3
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =    0.006541  (0.006124, 0.006958)
       p2 =      -23.51  (-25.09, -21.93)
       p3 =   2.113e+04  (1.964e+04, 2.262e+04)

fitpoly3=fit(cdate,pop,'poly3')
plot(fitpoly3,cdate,pop)

Warning: Equation is badly conditioned. Remove repeated data points or try
centering and scaling. 

fitpoly3 = 

     Linear model Poly3:
     fitpoly3(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =   3.855e-06  (-4.078e-06, 1.179e-05)
       p2 =    -0.01532  (-0.06031, 0.02967)
       p3 =       17.78  (-67.2, 102.8)
       p4 =       -4852  (-5.834e+04, 4.863e+04)

fit3=fit(cdate, pop,'poly3','Normalize','on','Robust','on')
plot(fit3,cdate,pop)

fit3 = 

     Linear model Poly3:
     fit3(x) = p1*x^3 + p2*x^2 + p3*x + p4
       where x is normalized by mean 1890 and std 62.05
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p1 =     -0.4619  (-1.895, 0.9707)
       p2 =       25.01  (23.79, 26.22)
       p3 =       77.03  (74.37, 79.7)
       p4 =       62.81  (61.26, 64.37)

fitoptions poly3

ans =

    Normalize: 'off'
      Exclude: []
      Weights: []
       Method: 'LinearLeastSquares'
       Robust: 'Off'
        Lower: [1x0 double]
        Upper: [1x0 double]

[fit4, gof]=fit(cdate, pop,'poly3','Normalize','on');
gof

gof = 

  struct with fields:

           sse: 149.7687
       rsquare: 0.9988
           dfe: 17
    adjrsquare: 0.9986
          rmse: 2.9682

plot(fit4,cdate, pop,'residuals');

plot( cdate, pop, 'o' );
xlim( [1900, 2050] );
hold on
plot( fit4 );
hold off

plot(fit4,cdate,pop,'predobs')

plot( cdate, pop, 'o' );
xlim( [1900, 2050] )
hold on
plot( fit4, 'predobs' );
hold off

cdateFuture = (2000:10:2020).';
popFuture = fit4( cdateFuture )

popFuture =

  276.9632
  305.4420
  335.5066

ci = predint( fit4, cdateFuture, 0.95, 'observation' )

ci =

  267.8589  286.0674
  294.3070  316.5770
  321.5924  349.4208

plot(cdate, pop, 'o');
xlim([1900, 2040])
hold on
plot(fit4)
h = errorbar(cdateFuture,popFuture,popFuture-ci(:,1),ci(:,2)-popFuture,'.');
hold off
legend('cdate v pop','poly3','prediction','Location','NorthWest')

load franke;
fitsurface=fit([x,y],z, 'poly44','Normalize','on')
plot(fitsurface, [x,y],z)

     Linear model Poly44:
     fitsurface(x,y) = p00 + p10*x + p01*y + p20*x^2 + p11*x*y + p02*y^2 + p30*x^3 
                    + p21*x^2*y + p12*x*y^2 + p03*y^3 + p40*x^4 + p31*x^3*y 
                    + p22*x^2*y^2 + p13*x*y^3 + p04*y^4
       where x is normalized by mean 1982 and std 868.6
       and where y is normalized by mean 0.4972 and std 0.2897
     Coefficients (with 95% confidence bounds):
       p00 =      0.3471  (0.3033, 0.3909)
       p10 =     -0.1502  (-0.1935, -0.107)
       p01 =     -0.4203  (-0.4637, -0.377)
       p20 =      0.2165  (0.1514, 0.2815)
       p11 =      0.1717  (0.1175, 0.2259)
       p02 =     0.03189  (-0.03351, 0.09729)
       p30 =     0.02778  (0.00749, 0.04806)
       p21 =     0.01501  (-0.002807, 0.03283)
       p12 =    -0.03659  (-0.05439, -0.01879)
       p03 =      0.1184  (0.09812, 0.1387)
       p40 =    -0.07661  (-0.09984, -0.05338)
       p31 =    -0.02487  (-0.04512, -0.004624)
       p22 =   0.0007464  (-0.01948, 0.02098)
       p13 =    -0.02962  (-0.04987, -0.009366)
       p04 =    -0.02399  (-0.0474, -0.0005797)

Опции подгонки полиномиальной модели

Все подходящие методы имеют значение по умолчанию properties Normalize, Exclude, Weights, и Method. Для примера см. Опции Подгонки Определения в Командной строке.

Полиномиальные модели имеют Method значение свойства LinearLeastSquares, и дополнительные подходящие свойства опций, показанные в следующей таблице. Для получения дополнительной информации на всех подходящих опциях, смотрите fitoptions страница с описанием.

Определение полиномиальных условий для полиномиальных поверхностных подгонок

Можно управлять терминами, чтобы включать в полиномиальную поверхностную модель путем определения степеней для входных параметров X и Y. Если i является степенью в области x, и j является степенью в области y, общая степень полинома является максимумом i и j. Степень x в каждом термине меньше чем или равна i, и степень y в каждом термине меньше чем или равна j. Максимум и для i и для j равняется пяти.

Например:

poly21  Z = p00 + p10*x + p01*y + p20*x^2 + p11*x*y

poly13  Z = p00 + p10*x + p01*y + p11*x*y + p02*y^2 
                      + p12*x*y^2 + p03*y^3

poly55  Z = p00 + p10*x + p01*y +...+ p14*x*y^4 
                      + p05*y^5

Например, если вы задаете x степень 3 и y степень 2, именем модели является poly32. Термины модели следуют за формой в этой таблице.

Общая степень полинома не может превысить максимум i и j. В этом примере, термины, такие как x³y и x²y² исключены, потому что их степени суммируют к больше, чем 3. В обоих случаях общей степенью является 4.