Функция Розенброка является стандартной тестовой функцией для оптимизации. rosenbrock.m функция помощника вычисляет значение функции и использует автоматическое дифференцирование, чтобы вычислить его градиент.

type rosenbrock.m

function [y,dydx] = rosenbrock(x)

y = 100*(x(2) - x(1).^2).^2 + (1 - x(1)).^2;
dydx = dlgradient(y,x);

end

Выполнять функцию Розенброка и ее градиент в точке [–1,2], создайте dlarray из точки и затем вызывают dlfeval на указателе на функцию @rosenbrock.

x0 = dlarray([-1,2]);
[fval,gradval] = dlfeval(@rosenbrock,x0)

fval = 
  1x1 dlarray

   104

gradval = 
  1x2 dlarray

   396   200

В качестве альтернативы задайте функцию Розенброка в зависимости от двух входных параметров, x1 и x2.

type rosenbrock2.m

function [y,dydx1,dydx2] = rosenbrock2(x1,x2)

y = 100*(x2 - x1.^2).^2 + (1 - x1).^2;
[dydx1,dydx2] = dlgradient(y,x1,x2);

end

Вызовите dlfeval оценивать rosenbrock2 на двух dlarray аргументы, представляющие входные параметры –1 и 2.

x1 = dlarray(-1);
x2 = dlarray(2);
[fval,dydx1,dydx2] = dlfeval(@rosenbrock2,x1,x2)

fval = 
  1x1 dlarray

   104

dydx1 = 
  1x1 dlarray

   396

dydx2 = 
  1x1 dlarray

   200

Постройте градиент функции Розенброка для нескольких точек в модульном квадрате. Во-первых, инициализируйте массивы, представляющие точки оценки и выход функции.

[X1 X2] = meshgrid(linspace(0,1,10));
X1 = dlarray(X1(:));
X2 = dlarray(X2(:));
Y = dlarray(zeros(size(X1)));
DYDX1 = Y;
DYDX2 = Y;

Выполните функцию в цикле. Постройте результат с помощью quiver.

for i = 1:length(X1)
    [Y(i),DYDX1(i),DYDX2(i)] = dlfeval(@rosenbrock2,X1(i),X2(i));
end
quiver(extractdata(X1),extractdata(X2),extractdata(DYDX1),extractdata(DYDX2))
xlabel('x1')
ylabel('x2')

Используйте dlgradient и dlfeval вычислить значение и градиент функции, которая включает комплексные числа. Можно вычислить комплексные градиенты или ограничить градиенты вещественными числами только.

Задайте функциональный complexFun, перечисленный в конце этого примера. Эта функция реализует следующую сложную формулу:

Задайте функциональный gradFun, перечисленный в конце этого примера. Это вызовы функции complexFun и использование dlgradient вычислить градиент результата относительно входа. Для автоматического дифференцирования, значение, чтобы дифференцироваться — i.e., значение функции, вычисленной от входа — должно быть действительным скаляром, таким образом, функция берет сумму действительной части результата прежде, чем вычислить градиент. Функция возвращает действительную часть значения функции и градиента, который может быть комплексным.

Задайте точки выборки по комплексной плоскости между-2 и 2 и-2$\mathit{i}$ и 2$\mathit{i}$ и преобразуйте в dlarray.

functionRes = linspace(-2,2,100);
x = functionRes + 1i*functionRes.';
x = dlarray(x);

Вычислите значение функции и градиент в каждой точке выборки.

[y, grad] = dlfeval(@gradFun,x);
y = extractdata(y);

Задайте точки выборки, в которых можно отобразить градиент.

gradientRes = linspace(-2,2,11);
xGrad = gradientRes + 1i*gradientRes.';

Извлеките значения градиента в этих точках выборки.

[~,gradPlot] = dlfeval(@gradFun,dlarray(xGrad));
gradPlot = extractdata(gradPlot);

Постройте график результатов. Используйте imagesc показать значение функции по комплексной плоскости. Используйте quiver показать направление и величину градиента.

imagesc([-2,2],[-2,2],y);
axis xy
colorbar
hold on
quiver(real(xGrad),imag(xGrad),real(gradPlot),imag(gradPlot),"k");
xlabel("Real")
ylabel("Imaginary")
title("Real Value and Gradient","Re$(f(x)) = $ Re$((2+3i)x)$","interpreter","latex")

Градиент функции является тем же самым через целую комплексную плоскость. Извлеките значение градиента, вычисленного автоматическим differentation.

grad(1,1)

ans = 
  1x1 dlarray

   2.0000 - 3.0000i

Контролем комплексная производная функции имеет значение

Однако функциональное Ре ($\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)$) не аналитично, и поэтому никакая комплексная производная не задана. Для автоматического дифференцирования в MATLAB значение, чтобы дифференцироваться должно всегда быть действительным, и поэтому функция никогда не может быть комплексная аналитичный. Вместо этого производная вычисляется таким образом, что возвращенный градиент указывает в направлении самого крутого подъема, как замечено в графике. Это сделано путем интерпретации функционального Ре$\left(\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)\right)$C $\to$ R как функциональное Ре$\left(\mathit{f}\left({\mathit{x}}_{\mathit{R}}+\mathit{i}{\mathit{x}}_{\mathit{I}}\right)\right)$R $\times$ R $\to$ R.

function y = complexFun(x)
    y = (2+3i)*x;    
end

function [y,grad] = gradFun(x)
    y = complexFun(x);
    y = real(y);

    grad = dlgradient(sum(y,"all"),x);
end