Сферические координаты

Поддержка сферических координат

Сферические координаты описывают вектор или точку в пространстве с расстоянием и двумя углами. Расстояние, R, является обычной Евклидовой нормой. Существует несколько соглашений относительно спецификации этих двух углов. Они включают:

Азимут и углы возвышения
Phi и углы theta
u и координаты v

Программное обеспечение Phased Array System Toolbox™ исходно поддерживает представление азимута/вертикального изменения. Программное обеспечение также обеспечивает функции для преобразования между представлением азимута/вертикального изменения и другими представлениями. См. Углы Phi и Theta и U и V Координат.

Азимут и углы возвышения

В программном обеспечении Phased Array System Toolbox преобладающее соглашение для сферических координат следующие:

Используйте угол азимута, az, и угол возвышения, el, чтобы задать местоположение точки на сфере единичного радиуса.
Задайте все углы в градусах.
Перечислите координаты в последовательности (az, el, R).

azimuth angle вектора является углом между x - ось и ортогональной проекцией вектора на плоскость xy. Угол положителен в движении от оси x к оси y. Углы азимута находятся между –180 и 180 градусами. elevation angle является углом между вектором и его ортогональной проекцией на xy - плоскость. Угол положителен при движении к положительному z - ось от плоскости xy. По умолчанию направление опорного направления элемента или массива выравнивается с положительным x - ось. Направление опорного направления является направлением основного лепестка элемента или массива.

Примечание

Угол возвышения иногда задается в литературе как угол, который вектор делает с положительным z - ось. MATLAB^® и продукты Phased Array System Toolbox не используют это определение.

Этот рисунок иллюстрирует угол азимута и угол возвышения для вектора, показавшего зеленой сплошной линией.

Phi и Theta Angles

Как альтернатива азимуту и углам возвышения, можно использовать углы, обозначенные φ и θ, чтобы описать местоположение точки на сфере единичного радиуса. Чтобы преобразовать представление φ/θ и от соответствующего представления азимута/вертикального изменения, используйте координатные функции преобразования, phitheta2azel и azel2phitheta.

phi угол (φ) является углом от положительного y - ось к ортогональной проекции вектора на плоскость yz. Угол положителен к положительному z - ось. phi угол между 0 и 360 градусами. Угол theta (θ) является углом от x - ось к самому вектору. Угол положителен к плоскости yz. Угол theta между 0 и 180 градусами.

Фигура иллюстрирует phi и theta для вектора, который появляется как зеленая сплошная линия.

Координатные преобразования между φ/θ и az/el описаны следующими уравнениями

$\begin{array}{l} \sin e l = \sin ϕ \sin θ \\ \tan a z = \cos ϕ \tan θ \\ \cos θ = \cos e l \cos a z \\ \tan ϕ = \tan e l / \sin a z \end{array}$

U и V координат

В радарных приложениях часто полезно параметрировать полушарие x ≥ 0 координат использования, обозначенных u и v.

Чтобы преобразовать φ/θ представление и от соответствующего u/v представление, используйте координатные функции преобразования phitheta2uv и uv2phitheta.
Чтобы преобразовать представление азимута/вертикального изменения и от соответствующего u/v представление, используйте координатные функции преобразования azel2uv и uv2azel.

Можно задать u и v в терминах φ и θ:

$\begin{array}{l} u = \sin θ \cos ϕ \\ v = \sin θ \sin ϕ \end{array}$

В этих выражениях φ и θ являются phi и углами theta, соответственно.

Чтобы преобразовать азимут и вертикальное изменение к u и v используют преобразование

$\begin{array}{l} u = \cos e l \sin a z \\ v = \sin e l \end{array}$

который допустим только в области значений abs(az)≤=90.

Значения u и v удовлетворяют неравенствам

$\begin{array}{l} - 1 \leq u \leq 1 \\ - 1 \leq v \leq 1 \\ u^{2} + v^{2} \leq 1 \end{array}$

С другой стороны phi и углы theta могут быть записаны в терминах использования v и u

$\begin{array}{l} \tan ϕ = v / u \\ \sin θ = \sqrt{u^{2} + v^{2}} \end{array}$

Азимут и углы возвышения могут также быть записаны в терминах u и v:

$\begin{array}{l} \sin e l = v \\ \tan a z = \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2} - v^{2}}} \end{array}$

Преобразование между прямоугольными и сферическими координатами

Следующие уравнения задают отношения между прямоугольными координатами и (az, el, R) представление, используемое в программном обеспечении Phased Array System Toolbox.

Преобразовывать прямоугольные координаты в (az, el, R):

$\begin{array}{l} R = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ a z = \tan^{- 1} (y / x) \\ e l = \tan^{- 1} (z / \sqrt{x^{2} + y^{2}}) \end{array}$

Преобразовывать (az, el, R) к прямоугольным координатам:

$\begin{array}{l} x = R \cos (e l) \cos (a z) \\ y = R \cos (e l) \sin (a z) \\ z = R \sin (e l) \end{array}$

При определении местоположения цели относительно фазированной решетки распространено относиться к своему расстоянию и направлению от массива. Расстояние от массива соответствует R в сферических координатах. Направление соответствует азимуту и углам возвышения.

Совет

Преобразовывать между прямоугольными координатами и (az, el, R), используют функции MATLAB cart2sph и sph2cart. Эти функции задают углы в радианах. Чтобы преобразовать между степенями и радианами, использовать deg2rad и rad2deg.

Поперечные углы

Broadside angles полезен при описании ответа универсальной линейной матрицы (ULA). Ответ массивов зависит непосредственно от поперечного угла а не от азимута и углов возвышения. Начните с ULA и чертите плоскость, ортогональную к оси ULA как показано синего цвета на рисунке. Поперечный угол, β, является углом между плоскостью и направлением сигнала. Чтобы вычислить поперечный угол, создайте линию из любой точки на пути прохождения сигнала к плоскости, ортогональной к плоскости. Угол между этими двумя линиями является поперечным углом и находится в интервале [–90 °, 90 °]. Поперечный угол положителен, когда измерено к положительному направлению оси массивов. Нулевые степени указывают на путь прохождения сигнала, ортогональный к оси массивов. ±90 ° указывают на пути вдоль оси массивов. Все пути прохождения сигнала, имеющие тот же поперечный угол, формируют конус вокруг оси ULA.

Преобразование из угла азимута, az, и угла возвышения, el, к поперечному углу, β,

$β = \sin^{- 1} (\sin (a z) \cos (e l))$

Это уравнение показывает это

Для угла возвышения нуля поперечный угол равняется углу азимута.
Углы возвышения одинаково выше и ниже результата плоскости xy в идентичных поперечных углах.

Можно преобразовать от поперечного угла до угла азимута, но необходимо задать угол возвышения

$a z = \sin^{- 1} (\frac{\sin β}{\cos (e l)})$

Поскольку пути к сигналам для данного поперечного угла, β, формируют конус вокруг оси массивов, вы не можете задать угол возвышения произвольно. Угол возвышения и поперечный угол должны удовлетворить

$| e l | + | β | \leq 90$

Следующая фигура изображает ULA с распределенными метрами d элементов независимо вдоль y - ось. ULA облучается плоской волной, испускаемой из точечного источника в далеком поле. Для удобства угол возвышения является нулевыми степенями. В этом случае направление сигнала находится в xy - плоскость. Затем поперечный угол уменьшает до угла азимута.

Из-за угла прибытия элементы массива одновременно не освещаются плоской волной. Дополнительное расстояние инцидентными перемещениями волны между элементами массива является d sinβ, где d является расстоянием между элементами массива. Постоянная задержка, τ, между элементами массива

$τ = \frac{d \sin β}{c},$

где c является скоростью волны.

Для поперечных углов ±90 ° сигнал является инцидентом на массиве, параллельном оси массивов, и задержка между датчиками равняется ±d/c. Для поперечного угла нуля плоская волна освещает все элементы ULA одновременно, и задержка между элементами является нулем.

Программное обеспечение Phased Array System Toolbox обеспечивает функции az2broadside и broadside2az для преобразования между азимутом и поперечными углами.

Преобразуйте между поперечными углами и азимутом и вертикальным изменением

Скрипт Open Live Script

Следующие примеры показывают, как использовать az2broadside и broadside2az функции.

Цель расположена под углом азимута 45 ° и в угле возвышения 60 ° относительно ULA. Определите соответствующий поперечный угол.

bsang = az2broadside(45,60)

bsang = 20.7048

Вычислите азимут для инцидентного сигнала, прибывающего в поперечный угол 45 ° и вертикальное изменение 20 °.

az = broadside2az(45,20)

az = 48.8063

Документация