Модель объекта управления

Модель объекта управления эквивалентна описанный в Запасах устойчивости MIMO для Вращения Спутника.

a = 10;
A = [0 a;-a 0];
B = eye(2);
C = [1 a;-a 1];
D = 0;
Gnom = ss(A,B,C,D);

Номинальный проект Смешанной Чувствительности

Начните с основного проекта смешанной чувствительности с помощью mixsyn. Выберите веса, чтобы достигнуть хорошей эффективности при ограничении усилия по управлению и полосы пропускания. (См., что Цикл Смешанной Чувствительности Формирует для получения дополнительной информации об этом методе и как выбрать функции взвешивания.)

wS = makeweight(1e3,1,1e-1);
wKS = makeweight(0.5,[500 1e2],1e4,0,2);
wT = makeweight(0.5,20,100);
bodemag(wS,wKS,wT), grid
legend('wS','wKS','wT')

Вычислите оптимальный контроллер MIMO K1 с mixsyn.

[K1,~,gam] = mixsyn(Gnom,wS,wKS,wT);
gam

gam = 0.7166

Оптимальная эффективность - приблизительно 0,7, указывая на тот mixsyn легко соответствовавший границы на $$S,KS,T$$. Закройте обратную связь и постройте переходной процесс.

T = feedback(Gnom*K1,eye(2));
step(T,2), grid

Номинальные ответы быстры с небольшим перерегулированием.

Дисковые поля

Чтобы измерить робастность этого контроллера, проверяйте дисковые поля во входных параметрах объекта и объекте выходные параметры.

diskmarginplot(K1*Gnom,'b',Gnom*K1,'r--') 
grid
legend('At plant inputs','At plant outputs')

Оба хороши приблизительно с 10 полями усиления дБ и 50 запасами по фазе степеней. Также проверяйте дисковые поля, когда усилению и фазе позволят варьироваться в обоих вводы и выводы объекта.

MMIO = diskmargin(Gnom,K1)

MMIO = struct with fields:
           GainMargin: [0.9915 1.0085]
          PhaseMargin: [-0.4862 0.4862]
           DiskMargin: 0.0085
           LowerBound: 0.0085
           UpperBound: 0.0085
            Frequency: 9.9988
    WorstPerturbation: [1x1 struct]

Поля ввода-вывода чрезвычайно малы. Этот первый проект также испытывает недостаток в робастности. Можно подтвердить плохую робастность путем введения самых маленьких возмущений дестабилизации, возвращенных diskmargin при вводах и выводах объекта. (См. diskmargin для получения дальнейшей информации о WorstPerturbation поле его структур output.)

WP = MMIO.WorstPerturbation;
bode(WP.Input,WP.Output)
title('Smallest destabilizing perturbation')
legend('Input perturbation','Output perturbation')

Tpert = feedback(WP.Output*Gnom*WP.Input*K1,eye(2));
step(Tpert,5)
grid

Переходной процесс продолжает колебаться после начальной переходной указывающей крайней нестабильности. Проверьте что встревоженная система с обратной связью Tpert имеет полюс на мнимой оси в критической частоте MMIO.Frequency.

[wn,zeta] = damp(Tpert); 
[~,idx] = min(zeta); 
[zeta(idx) wn(idx) MMIO.Frequency]

ans = 1×3

   -0.0000    9.9988    9.9988

Устойчивый проект

Создайте неопределенную модель объекта управления где параметр a (вращающаяся частота), варьируется по области значений [7 13].

a = ureal('a',10,'range',[7 13]);
A = [0 a;-a 0];
B = eye(2);
C = [1 a;-a 1];
D = 0;
Gunc = ss(A,B,C,D);

Можно использовать musyn спроектировать устойчивый контроллер для этого неопределенного объекта. Чтобы улучшить робастность, используйте umargin элемент, чтобы смоделировать усиление и неопределенность фазы при обоих вводах и выводах, так, чтобы musyn осуществил робастность для смоделированной области значений неопределенности. Предположим, что вы хотите по крайней мере 2 поля усиления дБ в каждом вводе-выводе (общее количество на 4 дБ для каждого канала). Если ваш umargin модель элементов, что полный спектр изменения, musyn не может привести к хорошим результатам, потому что это пытается осуществить устойчивую эффективность по смоделированной неопределенности, а также устойчивую устойчивость. musyn скорее всего, не может обеспечил желаемую эффективность для так большого изменения усиления. Вместо этого сократите цель к 1 изменению усиления дБ каждого ввода-вывода.

GM = 1.1; % about 1 dB
u1 = umargin('u1',GM);
u2 = umargin('u2',GM);
y1 = umargin('y1',GM);
y2 = umargin('y2',GM);
InputMargins = append(u1,u2);
OutputMargins = append(y1,y2);
Gunc = OutputMargins*Gunc*InputMargins;

Увеличьте объект с весами смешанной чувствительности и используйте musyn оптимизировать устойчивую эффективность для смоделированной неопределенности, которая включает обоих параметр a и усиление и изменения фазы при вводах и выводах объекта.

P = augw(Gunc,wS,wKS,wT);
[K2,gam] = musyn(P,2,2);

D-K ITERATION SUMMARY:
-----------------------------------------------------------------
                       Robust performance               Fit order
-----------------------------------------------------------------
  Iter         K Step       Peak MU       D Fit             D
    1           175.9        2.593        2.606            24
    2            1.21         1.21        1.225            60
    3           1.169        1.169        1.179            52
    4           1.171        1.171        1.177            60
    5           1.166        1.166        1.182            64

Best achieved robust performance: 1.17

Устойчивая эффективность близко к 1, указывая, что контроллер близко к устойчивому удовлетворению целям смешанной чувствительности. Проверяйте дисковые поля на объекте I/Os.

MMIO = diskmargin(Gnom,K2)

MMIO = struct with fields:
           GainMargin: [0.6393 1.5643]
          PhaseMargin: [-24.8199 24.8199]
           DiskMargin: 0.4401
           LowerBound: 0.4401
           UpperBound: 0.4489
            Frequency: 2.8263
    WorstPerturbation: [1x1 struct]

Поля - теперь приблизительно 1,6 дБ и 25 градусов, намного лучше, чем прежде. Сравните переходные процессы с каждым контроллером для 25 выборок неопределенности.

T1 = feedback(Gunc*K1,eye(2));
T2 = feedback(Gunc*K2,eye(2));
rng(0) % for reproducibility
T1s = usample(T1,25);
rng(0)
T2s = usample(T2,25);
opt = timeoptions; 
opt.YLim = {[-1 1.5]};
stepplot(T1s,T2s,4,opt)
grid
legend('Nominal design','Robust design','location','southeast')

Второй проект является ясным улучшением. Далее сравните чувствительность и дополнительные функции чувствительности.

sigma(eye(2)-T1s,eye(2)-T2s), grid
axis([1e-2 1e4 -80 20])
title('Sensitivity')
legend('Nominal design','Robust design','location','southeast')

sigma(T1s,T2s), grid
axis([1e-2 1e4 -80 20])
title('Complementary Sensitivity')
legend('Nominal design','Robust design','location','southeast')

Этот пример показал, как использовать umargin неопределенный элемент, чтобы улучшить запасы устойчивости как часть устойчивого синтеза контроллера.