Дисковые поля определяют количество устойчивости системы с обратной связью против усиления или изменений фазы ответа разомкнутого контура. В находящихся на диске граничных вычислениях, модели ПО такие изменения как дискообразная мультипликативная неопределенность на передаточной функции разомкнутого контура. disk margin измеряется, сколько неопределенности цикл может терпеть прежде, чем идти нестабильный.
Та сумма неопределенности соответствует минимальным запасам по амплитуде и фазе. Находящийся на диске DGM запаса по амплитуде является суммой, которой усиление цикла может увеличиться или уменьшиться без потери устойчивости в абсолютных единицах. Находящийся на диске DPM запаса по фазе является суммой, которой фаза цикла может увеличиться или уменьшиться без потери устойчивости в градусах. Эти находящиеся на диске поля учитывают все частоты и взаимодействия цикла. Поэтому находящийся на диске граничный анализ обеспечивает более сильную гарантию устойчивости, чем классические запасы по амплитуде и фазе.
Robust Control Toolbox™ предоставляет инструменты:
Анализируйте устойчивость системы против изменений фазы и усиления. Использование diskmargin
вычислить находящиеся на диске запасы по амплитуде и фазе обратной связи SISO и MIMO.
Усиление модели и неопределенность фазы. Используйте umargin
блок системы управления, чтобы анализировать эффект усиления и неопределенности на производительности системы и устойчивости.
Оба umargin
и diskmargin
представляйте усиление и изменение фазы как мультипликативный комплексный фактор F (s), заменяя номинальный ответ разомкнутого контура L (s) с L (s) *
F (s). Фактор F принимает значения в диске, который включает номинальную стоимость F = 1. Это мультипликативные факторные модели и усиление и изменения фазы. Например, следующий график показывает один такой диск в комплексной плоскости.
DGM = [0.6,1.7];
diskmarginplot(DGM,'disk')
Значения в этом диске охватывают относительные изменения только для усиления области значений DGM
= [0.6 1.7], или ±4 дБ. Они также представляют абсолютные изменения только для фазы DPM
= [–29,29], или ±29 °. Полагайте, что следующая система с обратной связью, с номинальным циклом передают модульная обратная связь и L.
Если эта обратная связь остается устойчивой для всех значений F в диске, показанном в предыдущем графике, то находящимся на диске запасом по амплитуде L является, по крайней мере, DGM
, и находящимся на диске запасом по фазе является, по крайней мере, DPM
.
И umargin и diskmargin усиление модели и неопределенность фазы с семейством дисков, описанных двумя параметрами, α и σ. Для систем SISO диск параметрируется:
В этой модели,
δ нормированная неопределенность (произвольное комплексное число на единичном диске | δ | <1).
α устанавливает сумму усиления и изменения фазы, смоделированного F. Для фиксированного σ параметр α управляет размером диска. Для α = 0, мультипликативный фактор равняется 1, соответствуя номиналу L.
σ, названный скосом, смещает смоделированную неопределенность к увеличению усиления или уменьшению усиления.
Каждый α,σ пара соответствует диску, который моделирует конкретную область значений изменения усиления DGM = [gmin, gmax], данный точками, где диск прерывает действительное (x) ось. Соответствующее изменение фазы DPM определяется углом между вещественной осью и линией через начало координат и касательную к диску. Таким образом можно описать смоделированный набор усиления и изменений фазы полностью или этими двумя значениями α,σ или этими двумя значениями DGM = [gmin, gmax]. σ = 0 моделирует сбалансированное изменение усиления с [gmin, gmax] таким образом что gmin = 1/gmax. Когда σ <0, затем F представляет большее уменьшение усиления, чем увеличение (gmin <1/gmax). С другой стороны σ> 0 представляет большее увеличение усиления, чем уменьшение. Например, считайте диски параметрированными α = 0,5 и три различных скоса, σ = –2, 0, и 2.
diskmarginplot(0.5,[-2 0 2],'disk')
Каждый α,σ пара соответствует диску, который моделирует различную область значений изменения усиления DGM = [gmin, gmax]. Исследуйте изменения усиления, которые соответствуют каждому из этих трех дисков.
Ranges = dm2gm(0.5,[-2 0 2])
Ranges = 3×2
0.3333 1.4000
0.6000 1.6667
0.7143 3.0000
diskmarginplot(Ranges)
Сбалансированный σ = 0 областей значений симметричен вокруг номинальной стоимости, позволяя усилению увеличиться или уменьшиться на коэффициент приблизительно 1,67. Отрицательное σ значение соответствует большему количеству уменьшения усиления, чем увеличение, в то время как положительный σ дает больше увеличения, чем уменьшение.
umargin
блок системы управления использует эту модель, чтобы представлять усиление и неопределенность фазы в обратной связи, устанавливая α и σ от значений запаса по амплитуде и фазе, которые вы задаете, когда вы создаете блок. diskmargin
команда использует эту модель, чтобы вычислить находящиеся на диске запасы по амплитуде и фазе, как обсуждено в следующем разделе.
Поскольку цикл передает L и данный скос σ, diskmargin
команда находит самый большой размер диска α в который система с обратной связью feedback(L*F,1)
устойчиво для всех значений F. Это значение α называется дисковым полем. Находящийся на диске запас по амплитуде DGM
и находящийся на диске запас по фазе DPM
область значений усиления и изменений фазы, представленных соответствующим диском.
Например, вычислите дисковое поле, и сопоставил находящиеся на диске запасы по амплитуде и фазе для передаточной функции SISO, с помощью значения по умолчанию σ = 0.
sigma = 0; L = tf(25,[1 10 10 10]); DM = diskmargin(L,sigma); alpha = DM.DiskMargin
alpha = 0.4581
DGM = DM.GainMargin
DGM = 1×2
0.6273 1.5942
DPM = DM.PhaseMargin
DPM = 1×2
-25.8017 25.8017
Для этой системы сбалансированный (σ = 0) дисковое поле α является приблизительно 0,46. Соответствующий находящийся на диске запас по амплитуде DGM
показывает, что система остается устойчивой для относительных изменений усиления между приблизительно 0,63 и 1.6, или для изменений фазы приблизительно ±26 градусов. Этот результат устанавливает устойчивость для всех значений F в диске:
diskmarginplot(DGM,'disk')
Запасы по амплитуде являются пересечением диска с вещественной осью. Запас по фазе является самым большим углом между вещественной осью и линией через касательную источника к диску.
Объединенные изменения усиления и фазы
Запасы по амплитуде DGM
вы получаете из diskmargin
не примите изменение фазы и запасы по фазе DPM
не примите изменение усиления. На практике ваша система может испытать одновременное усиление и изменения фазы. diskmarginplot
позволяет вам визуализировать области значений одновременного усиления и изменений фазы, которые может терпеть система.
diskmarginplot(DGM)
Теневая область показывает устойчивую область значений объединенного усиления и изменений фазы. Таким образом, например, без изменения фазы, система может терпеть полный спектр DGM
из изменения усиления, приблизительно-4 дБ к 4 дБ. Если фазе позволяют варьироваться приблизительно ±17 градусами, допустимое изменение усиления спадает до области значений приблизительно-3 дБ к 3 дБ.
Дисковые поля и скос
Области значений, показанные выше, вычисленные для σ = 0, представляют сбалансированное изменение усиления, где gmin
= 1/gmax
. Варьируясь скос может показать, более ли чувствителен цикл, чтобы получить увеличение или уменьшение. Например, использование σ> 0 может показать, что обратная связь очень устойчива, чтобы получить увеличение, потому что положительные σ модели больше увеличения усиления, чем уменьшение. Этот результат, однако, говорит мало о робастности, чтобы получить уменьшение. Попытайтесь вычислить находящиеся на диске запасы по амплитуде и фазе для L, сместив поля к увеличению усиления или получите уменьшение.
DMdec = diskmargin(L,-2); DMinc = diskmargin(L,2); DGMdec = DMdec.GainMargin
DGMdec = 1×2
0.4013 1.3745
DGMinc = DMinc.GainMargin
DGMinc = 1×2
0.7717 1.7247
Соедините, эти результаты показывают, что в отсутствие изменения фазы, устойчивость обеспечена для относительных изменений усиления между 0,4 и 1.72. Чтобы видеть, как запас по фазе зависит от этих изменений усиления, постройте устойчивые области значений усиления и изменений фазы для каждого diskmargin
результат.
diskmarginplot([DGMdec;DGM;DGMinc]) legend('\sigma = -2','\sigma = 0','\sigma = 2') title('Stable range of gain and phase variations')
Этот график показывает, что обратная связь может терпеть большие изменения фазы, когда усиление уменьшается. Другими словами, устойчивость цикла более чувствительна, чтобы получить увеличение. Обратите внимание на то, что было бы ошибочно только брать самый большой запас по фазе, о котором сообщают (почти 30 градусов для σ = –2). Действительно, это большое значение утверждено на маленьком увеличении усиления меньше чем 3 дБ. И начиная с усиление и начиная с фаза подвергаются неопределенности в целом, важно обратить внимание на объединенные изменения. Например, график показывает это, когда увеличения усиления на 4 дБ, запас по фазе спадает меньше чем до 15 градусов. В отличие от этого, остается больше, чем 30 градусов, когда усиление уменьшается на 4 дБ.
В заключение варьируясь скос σ может дать более полное изображение чувствительности к неопределенности фазы и усилению. Если вы в основном не обеспокоены изменениями усиления одного направления (увеличение или уменьшение), не рекомендуется сделать выводы из одного ненулевого значения σ. Вместо этого используйте значение по умолчанию σ = 0, чтобы получить объективные оценки запасов по амплитуде и фазе. При использовании ненулевых значений σ используйте и положительные и отрицательные величины, чтобы сравнить относительную чувствительность, чтобы получить увеличение по сравнению с уменьшением усиления.
Диск неопределенности в плоскости Найквиста
Требование устойчивой устойчивости для системы с обратной связью feedback(L*F,1)
эквивалентно требованию что 1 + L*F
≠ 0. В плоскости Найквиста это требование становится L (jω) ≠ –1/F. Таким образом диск F для каждого значения σ задает область исключения, которую не вводит кривая Найквиста, если устойчивость с обратной связью сохраняется. Все такие диски –1/F содержат критическую точку (–1,0) и являются касательной к кривой Найквиста. Скос настраивает размер и положение дисков касательной, как проиллюстрировано в следующем графике, который показывает области исключения для трех дисковых полей L, вычисленного выше. Как σ увеличения, каждый диск обеспечивает более низкие оценки классических запасов по амплитуде и фазе.
nyquist(L) hold on diskmarginplot([DGMdec;DGM;DGMinc],'nyquist') p = findobj(gca,'type','patch'); legend(p,'\sigma = -2','\sigma = 0','\sigma = 2') hold off
Для получения дополнительной информации об интерпретации Найквиста диска неопределенности, смотрите Дисковое Поле и Самое маленькое Возмущение Дестабилизации.
Для систем MIMO модель применяет независимый диск неопределенности Fj к каждому каналу цикла, данному
Модель заменяет ответ разомкнутого контура MIMO L на L *F, где
Аналогичный случаю SISO, дисковое поле является самым большим значением α для который система с обратной связью feedback(L*F,eye(N))
устойчиво для всех значений F. Может быть полезно рассмотреть независимые изменения через все каналы обратной связи целиком, а также изменения отдельных каналов. Поэтому diskmargin
позволяет вам вычислить:
Поля Loop-at-a-time — Максимальные терпимые изменения усиления (или изменения фазы) в каждом канале обратной связи, вычисленном со всеми другими замкнутыми кругами. Цикл за один раз анализ эффективно устанавливает весь δj на 0 для всех каналов кроме канала при анализе.
Multiloop margins — Максимальные терпимые изменения усиления (или изменения фазы) через все каналы обратной связи. Многоконтурные поля допускают независимые изменения всех каналов обратной связи одновременно. Способность получить такие взаимодействия цикла является главным преимуществом граничного диском подхода по классическому граничному анализу. Многоконтурный анализ обычно дает к меньшим полям, чем цикл за один раз анализ.
Например, рассмотрите систему MIMO с 2 каналами следующего рисунка.
Для этой системы можно вычислить:
Максимальные терпимые изменения усиления (или изменения фазы) в первом канале (первый системный вход к первой системе выход)
Максимальные терпимые изменения усиления (или изменения фазы) во втором канале (второй системный вход к второй системе выход)
Максимальные терпимые независимые изменения усиления (или изменения фазы) в обоих каналах одновременно.
Для получения дополнительной информации и примеры того, как получить их, циклично выполняются за один раз и многоконтурные поля, видят diskmargin
.
В некоторых случаях запасы устойчивости могут варьироваться в зависимости от того, применяются ли усиление и изменения фазы во входе объекта или объекте выход. diskmargin
позволяет вам вычислить поля для изменений во входе, вывести, или оба одновременно. В общем случае поля для одновременных изменений ввода и вывода меньше, чем те для ввода или вывода только и обеспечивают более консервативную гарантию устойчивости. Считайте SISO или MIMO системой с обратной связью следующей схемы.
Можно вычислить дисковые поля при вводах и выводах объекта можно следующим образом.
[DM,MM] = diskmargin(P*C)
возвращает поля для изменений на объекте выходные параметры.
[DM,MM] = diskmargin(C*P)
возвращает поля для изменений во входных параметрах объекта.
MMIO = diskmargin(P,C)
возвращает поле для одновременных изменений на объекте выходные параметры и входные параметры. При сравнении этого поля с полями в любом вводы или выводы используйте 2*MMIO.Diskmargin
, с учетом одновременных возмущений, примененных при обоих вводах и выводах.
В общем случае запасы по амплитуде и фазе варьируются через частоту. Это изменение происходит из-за изменения частоты ответа разомкнутого контура L: Для каждой частоты ω существует различный самый большой α (ω), таким образом, что I + L (jω) F является обратимым для всех значений F в диске. Этим значением является первый α (ω), для которого полюс с обратной связью пересекает ось jω на частоте ω, становясь нестабильным.
В то время как дисковое поле α варьируется через частоту, также - соответствующая терпимая область значений изменений фазы или усиления. Графический вывод этих находящихся на диске полей в зависимости от частоты предоставляет информацию о диапазонах частот со слабыми полями.
L = tf(25,[1 10 10 10]); diskmarginplot(L)
Дисковые поля, возвращенные diskmargin
минимум такие значения по всем частотам. Щелкните правой кнопкой по графику, сгенерированному diskmarginplot
для всплывающей подсказки с информацией об этих значениях.
Дисковое поле вычисляется путем применения неопределенности к номинальной передаче цикла L и вычисление, как большой, что неопределенность может быть при сохранении устойчивости с обратной связью. Если передача цикла, L является самостоятельно неопределенной системой, то дисковое поле также варьируется в зависимости от другой неопределенности по системе. worst-case disk margin является самым маленьким дисковым полем, которое происходит в областях значений неопределенности, смоделированной в L. Это - также минимальное гарантируемое поле в области значений неопределенности.
Вычислите дисковые поля худшего случая неопределенного системного использования wcdiskmargin
. Эта функция оценивает дисковые поля худшего случая и соответствующие запасы по амплитуде и фазе худшего случая и для цикла за один раз и для многоконтурных изменений. Функция также возвращает возмущение худшего случая, комбинацию неопределенных элементов в L, который дает к самым слабым полям. Можно визуализировать худший случай находящиеся на диске поля с wcdiskmarginplot
.
systune
или Control System TunerНастраивающие инструменты системы управления в Control System Toolbox™ позволяют вам задать целевые циклы for запасов по амплитуде и фазе в своей настроенной системе. Настраивающиеся цели TuningGoal.Margins
(для командной строки, настраивающейся с systune
) и Цель Полей (для настройки с Control System Tuner) использует находящиеся на диске поля. Таким образом, когда вы задаете независимые запасы по амплитуде и фазе GM и PM для настройки, программное обеспечение выбирает самый маленький α, который осуществляет оба значения. Этим α дают:
В применении этого значения α настраивающееся программное обеспечение принимает σ = 0.
Визуализация граничного использования целей viewGoal
или графики настраивающей цели Control System Tuner эквивалентны diskmarginplot(L)
, где L
настроенный ответ разомкнутого контура.
musyn
Когда вы выполняете устойчивый контроллер, настраивающийся с musyn
, можно смоделировать усиление и изменения фазы непосредственно системного использования umargin
. Затем выполняя устойчивое проектирование контроллера с musyn
осуществляет устойчивую устойчивость для смоделированной области значений изменений фазы и усиления. Этот подход полезен, потому что он позволяет вам изучать эффекты ожидаемого усиления и изменений фазы на всех аспектах производительности системы с помощью той же модели, которую вы используете для настройки. Для примера смотрите Устойчивый Контроллер для Вращения Спутника.
Недостаток этого подхода - это musyn
не только осуществляет устойчивую устойчивость в целой смоделированной области значений неопределенности. Это также пытается осуществить устойчивую эффективность. (См. Устойчивый Критерий качества работы для Mu-Synthesis.) Достигающий этого более строгого требования обычно невозможно или приводит к невыносимому ухудшению номинальной эффективности. Таким образом вы можете должны быть уменьшать смоделированное усиление и изменения фазы, чтобы обеспечить разумную эффективность. systune
и Control System Tuner не имеет этого недостатка, потому что они обрабатывают граничные цели независимо от любых целей эффективности.
[1] Загубите, Джеймс Д., Р. Лейн Дэйли и Дэгфинн Гэнгсаас. “Практический Проект Закона о надзоре для Самолета Используя Многомерные Методы”. Международный журнал Управления 59, № 1 (январь 1994): 93–137. https://doi.org/10.1080/00207179408923071.
[2] Seiler, Питер, Эндрю Пэкард и Паскаль Гахине. “Введение в Дисковые Поля [Примечания Лекции]”. Журнал 40 Систем управления IEEE, № 5 (октябрь 2020): 78–95.
diskmargin
| wcdiskmargin
| diskmarginplot
| umargin