Устойчивый критерий качества работы для Mu-Synthesis

robust H∞ performance определяет количество, как смоделированная неопределенность влияет на эффективность обратной связи. Уровень здесь измерен с H _∞ норма (пиковое усиление) передаточной функции интереса, такого как это от воздействия до сигналов ошибки. (См. Эффективность H-бесконечности.)

Для системы T (s) устойчивый H _∞ эффективность μ является наименьшим значением γ, таким образом, что пиковое усиление T остается ниже γ по причине неопределенности до 1/γ в нормированных единицах. Например:

μ = 0,5 средних значения, что || T (s) || _∞ остается ниже 0.5 по причине неопределенности до дважды неопределенности, заданной в T. Усиление худшего случая для заданной неопределенности обычно меньше.
μ = 2 средних значения, что || T (s) || _∞ остается ниже 2 по причине неопределенности до половины неопределенности, заданной в T. Для этого значения усиление худшего случая для полной заданной неопределенности может быть намного больше. Это может даже быть бесконечно, означая, что система не остается устойчивой по полному спектру заданной неопределенности.

Количество μ является пиковым значением по частоте μ structured singular value (ω) для неопределенности, заданной в T. Это количество является обобщением сингулярного значения для неопределенных систем. Это зависит от структуры неопределенности в системе. На практике μ затрудняет, чтобы вычислить точно, таким образом, программное обеспечение вместо этого вычисляет нижние и верхние границы, $\underline{μ}$ и $\bar{μ}$ . Верхняя граница $\bar{μ}$ имеет несколько приложений в проекте системы управления и анализе. Вы можете:

Использование musyn спроектировать контроллер для неопределенного объекта, который минимизирует $\bar{μ}$ из системы с обратной связью. В дополнение к получившемуся контроллеру, musyn возвращает соответствующее значение $\bar{μ}$ в CLperf выходной аргумент.
Использование musynperf оцените устойчивую эффективность неопределенной системы. Эта функция возвращает нижние и верхние границы на μ, значения неопределенности, которые дают к пику μ и другая информация об устойчивой эффективности с обратной связью.

Неопределенная модель

Чтобы изучить расчет устойчивого H _∞ эффективность, считайте неопределенную систему T (s), смоделированный как фиксированный фрагмент T ₀ и неопределенный фрагмент _Δunc/γ.

Δ_unc собирает неопределенные элементы {_Δ1, …, Δ_N}.

$Δ_{u n c} = (\begin{matrix} Δ_{1} \\ ⋱ \\ Δ_{N} \end{matrix}) .$

Каждый Δ_j является произвольной действительной, комплексной, или динамической неопределенностью, которая нормирована таким образом что ||Δ_j || _∞ ≤ 1. Факторный γ настраивает уровень неопределенности.

Устойчивая эффективность как устойчивый запас устойчивости

Предположим это для системы, смоделированной как в схеме (a),

|| T || _∞ ≤ γ для всего ||Δ_unc || _∞ ≤ 1.

Теоремой маленького усиления (см. [1]), это устойчивое условие эффективности эквивалентно утверждению, что система схемы (b), LFT (_Δperf/γ, T), устойчиво для всех для всего ||Δ_perf || _∞ ≤ 1.

Δ_perf называется performance block. Расширьте T как в схеме (a) и группе Δ_perf с неопределенными блоками Δ_unc, чтобы задать новый блок Δ,

$Δ ≜ (\begin{matrix} Δ_{p e r f} & 0 \\ 0 & Δ_{u n c} \end{matrix}) .$

Результатом является система в следующей схеме.

Таким образом устойчивое условие эффективности в системе схемы (a) эквивалентно условию устойчивости на схеме (c), или

${‖ T ‖}_{\infty} \leq γ \forall {‖ Δ_{u n c} ‖}_{\infty} \leq 1 \Leftrightarrow {‖ L F T (Δ / γ), T_{0} ‖}_{\infty} устойчивый для всех {‖ Δ ‖}_{\infty} \leq 1.$

Устойчивым μ эффективности является самый маленький γ, для которого это условие устойчивости содержит. Эквивалентно, 1/μ является самым большим уровнем неопределенности 1/γ, для которого система схемы (c) надежно устойчива. Другими словами, 1/μ является устойчивым запасом устойчивости обратной связи схемы (c) для увеличенной неопределенности Δ. (Для получения дополнительной информации об устойчивых запасах устойчивости смотрите Анализ Робастности и Худшего Случая.)

Верхняя граница μ

Чтобы получить оценку на верхней границе μ, программное обеспечение вводит scalings. Если система в схеме (c) устойчива для всего ||Δ || _∞ ≤ 1, то система следующей схемы также устойчива для любого обратимого D.

Если поездки на работу D с Δ, то система схемы (d) совпадает с системой в следующей схеме.

Матрицы D, которые структурно коммутируются с Δ, называются масштабированиями D. Они могут быть зависимым частоты, который обозначается D (ω).

Define $\bar{μ}$ как:

$\bar{μ} ≜ \inf_{D (ω)} {‖ D (ω) T_{0} (j ω) D {(ω)}^{- 1} ‖}_{\infty} .$

Для оптимального D* (ω) и любой γ ≥ $\bar{μ}$ ,

${‖ D^{*} (ω) T_{0} (j ω) D^{*} {(ω)}^{- 1} ‖}_{\infty} \leq γ .$

Поэтому теоремой маленького усиления, система схемы (e) устойчива для всего ||Δ || _∞ ≤ 1. Из этого следует, что 1/γ ≤ 1/μ, или γ ≤ μ, потому что 1/μ является устойчивым запасом устойчивости. Следовательно, μ ≤ $\bar{μ}$ , так, чтобы $\bar{μ}$ верхняя граница для устойчивой эффективности μ. Эта верхняя граница $\bar{μ}$ количество, вычисленное musynperf и оптимизированный musyn.

D и масштабирования G

Когда все неопределенные элементы _Δj являются комплексными или динамика LTI, программное обеспечение аппроксимирует $\bar{μ}$ путем выбора сетки частоты {ω ₁, …, _ωN}. В каждой точке частоты программное обеспечение решает оптимальную задачу масштабирования

${\bar{μ}}_{i} = \inf_{D_{i}} ‖ D_{i} T_{0} (j ω_{i}) D_{i}^{- 1} ‖ .$

Это затем устанавливает $\bar{μ}$ к самому большому результату по всем частотам в сетке,

$\bar{μ} = \max_{i} {\bar{μ}}_{i} .$

Когда некоторые _Δj действительны, возможно получить менее консервативную верхнюю границу при помощи дополнительных масштабирований под названием масштабирования G. В этом случае, $\bar{μ}$ является самым маленьким ${\bar{μ}}_{i}$ по частоте, таким образом, что

${(\begin{matrix} T_{0} (j ω_{i}) \\ I \end{matrix})}^{H} (\begin{matrix} D_{r} (ω_{i}) & - j G_{c r}^{H} (ω_{i}) \\ j G_{c r} (ω_{i}) & - {\bar{μ}}_{i}^{2} D_{c} (ω_{i}) \end{matrix}) (\begin{matrix} T_{0} (j ω_{i}) \\ I \end{matrix}) \leq 0$

для некоторого _Dr (_ωi), _Dc (_ωi) и _Gcr (_ωi). Эти зависимые частотой матрицы являются масштабированиями G и D.

Mu-Synthesis

musyn команда синтезирует устойчивые контроллеры, использующие итеративный процесс, который оптимизирует устойчивую эффективность $\bar{μ}$ . Изучить, как использовать musyn, смотрите, что Устойчивое Проектирование контроллера Использует Mu-Synthesis. Для получения дополнительной информации о musyn алгоритм, см. Процесс Итерации D-K.

Ссылки

[1] Skogestad, S. и я. Postlethwaite, Многомерное Управление с обратной связью: Анализ и проектирование, 2-й редактор Западный Сассекс, Англия: John Wiley & Sons, 2005, стр 156, 306.

Смотрите также

musyn | musynperf

Документация