Оцените функцию частотной характеристики для простой single-input/single-output системы и сравните ее с определением.

Одномерное дискретное время колеблющаяся система состоит из модульной массы, $\mathit{m}$, присоединенный к стене к пружине с эластичной константой $\mathit{k}=1$. Датчик производит смещение массы в ${\mathit{F}}_{\mathrm{s}}=1$ Гц. Демпфер препятствует движению массы путем порождения на него силы, пропорциональной, чтобы ускориться с затуханием постоянного $\mathit{b}=0.01$.

Сгенерируйте в 3000 раз выборки. Задайте интервал выборки $\Delta \mathit{t}=1/{\mathit{F}}_{\mathit{s}}$.

Fs = 1;
dt = 1/Fs;
N = 3000;
t = dt*(0:N-1);
b = 0.01;

Система может быть описана моделью в пространстве состояний

где $\mathit{x}={\left[\begin{array}{cc}\mathit{r}& \mathit{v}\end{array}\right]}^{\mathit{T}}$ вектор состояния, $\mathit{r}$ и $\mathit{v}$ соответственно смещение и скорость массы, $\mathit{u}$ движущая сила, и $\mathit{y}=\mathit{r}$ измеренный выход. Матрицы пространства состояний

$\mathit{I}$ $2\times 2$ идентичность и матрицы пространства состояний непрерывного времени

Ac = [0 1;-1 -b];
A = expm(Ac*dt);

Bc = [0;1];
B = Ac\(A-eye(2))*Bc;

C = [1 0];
D = 0;

Масса управляется случайным входом в течение первых 2 000 секунд и затем оставляется возвратиться к отдыху. Используйте модель в пространстве состояний, чтобы вычислить эволюцию времени системы, начинающей со все-нулевого начального состояния. Постройте смещение массы в зависимости от времени.

rng default
u = randn(1,N)/2;
u(2001:end) = 0;

y = 0;
x = [0;0];
for k = 1:N
    y(k) = C*x + D*u(k);
    x = A*x + B*u(k);
end

plot(t,y)

Оцените модальную функцию частотной характеристики системы. Используйте окно Hann, вдвое менее длинное, чем измеренные сигналы. Укажите, что выход является смещением массы.

wind = hann(N/2);

[frf,f] = modalfrf(u',y',Fs,wind,'Sensor','dis');

Функция частотной характеристики системы дискретного времени может быть описана как Z-преобразование передаточной функции временного интервала системы, оцененной в модульном кругу. Сравните modalfrf оцените с определением.

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D);

nfs = 2048;
fz = 0:1/nfs:1/2-1/nfs;
z = exp(2j*pi*fz);
ztf = polyval(b,z)./polyval(a,z);

plot(f,20*log10(abs(frf)))
hold on
plot(fz*Fs,20*log10(abs(ztf)))
hold off
grid
ylim([-60 40])

Оцените собственную частоту и коэффициент затухания для режима вибрации.

[fn,dr] = modalfit(frf,f,Fs,1,'FitMethod','PP')

fn = 0.1593

dr = 0.0043

Сравните собственную частоту с $1/2\pi$, который является теоретическим значением для незатухающей системы.

theo = 1/(2*pi)

theo = 0.1592

Вычислите модальные параметры модуля Космической станции, начинающего с его массива функции частотной характеристики (FRF).

Загрузите структуру, содержащую three-input/three-output FRF массив. Система производится на уровне 320 Гц.

load modaldata SpaceStationFRF

frf = SpaceStationFRF.FRF; 
f = SpaceStationFRF.f; 
fs = SpaceStationFRF.Fs;

Извлеките модальные параметры самых низких 24 режимов с помощью метода рациональной функции наименьших квадратов.

[fn,dr,ms,ofrf] = modalfit(frf,f,fs,24,'FitMethod','lsrf');

Сравните восстановленный массив FRF с измеренным.

for ij = 1:3
 for ji = 1:3
    subplot(3,3,3*(ij-1)+ji)
    loglog(f,abs(frf(:,ji,ij)))
    hold on
    loglog(f,abs(ofrf(:,ji,ij)))
    hold off
    axis tight
    title(sprintf('In%d -> Out%d',ij,ji))
    if ij==3
        xlabel('Frequency (Hz)')
    end
 end
end

Оцените функцию частотной характеристики и модальные параметры простой системы мультивхода/мультивыхода.

Идеальная одномерная колеблющаяся система состоит из двух масс, ${\mathit{m}}_1$ и ${\mathit{m}}_2$, ограниченный между двумя стенами. Модули таковы что ${\mathit{m}}_1=1$ и ${\mathit{m}}_2=\mu$. Каждая масса присоединена к самой близкой стене к пружине с эластичной константой $\mathit{k}$. Идентичная пружина соединяет эти две массы. Три демпфера препятствуют движению масс путем проявления на них, обеспечивает пропорциональный, чтобы ускориться, с затуханием постоянного $\mathit{b}$. Выборка датчиков ${\mathit{r}}_1$ и ${\mathit{r}}_2$, смещения масс, в ${\mathit{F}}_{\mathrm{s}}=50$ Гц.

Сгенерируйте в 30,000 раз выборки, эквивалентные 600 секундам. Задайте интервал выборки $\Delta \mathit{t}=1/{\mathit{F}}_{\mathrm{s}}$.

Fs = 50;
dt = 1/Fs;
N = 30000;
t = dt*(0:N-1);

Система может быть описана моделью в пространстве состояний

где $$x={\left[\begin{array}{cccc}{r}_1& v_1& r_2& v_2\end{array}\right]}^T$$ вектор состояния, $$r_i$$ и $$v_i$$ соответственно местоположение и скорость $$i$$масса th, $$u={\left[\begin{array}{cc}{u}_1& u_2\end{array}\right]}^T$$ вектор из входных движущих сил, и $$y={\left[\begin{array}{cc}{r}_1& r_2\end{array}\right]}^T$$ выходной вектор. Матрицы пространства состояний

$\mathit{I}$ $4\times 4$ идентичность и матрицы пространства состояний непрерывного времени

Набор $\mathit{k}=400$, $\mathit{b}=0.1$, и $\mu =1/10$.

k = 400;
b = 0.1;
m = 1/10;

Ac = [0 1 0 0;-2*k -2*b k b;0 0 0 1;k/m b/m -2*k/m -2*b/m];
A = expm(Ac*dt);
Bc = [0 0;1 0;0 0;0 1/m];
B = Ac\(A-eye(4))*Bc;
C = [1 0 0 0;0 0 1 0];
D = zeros(2);

Массы управляются случайным входом в течение измерения. Используйте модель в пространстве состояний, чтобы вычислить эволюцию времени системы, начинающей со все-нулевого начального состояния.

rng default
u = randn(2,N);

y = [0;0];
x = [0;0;0;0];
for kk = 1:N
    y(:,kk) = C*x + D*u(:,kk);
    x = A*x + B*u(:,kk);
end

Используйте входные и выходные данные, чтобы оценить передаточную функцию системы в зависимости от частоты. Используйте окно Hann с 15000 выборками с 9 000 выборок перекрытия между смежными сегментами. Укажите, что измеренные выходные параметры являются смещениями.

wind = hann(15000);
nove = 9000;
[FRF,f] = modalfrf(u',y',Fs,wind,nove,'Sensor','dis');

Вычислите теоретическую передаточную функцию как Z-преобразование передаточной функции временного интервала, оцененной в модульном кругу.

nfs = 2048;
fz = 0:1/nfs:1/2-1/nfs;
z = exp(2j*pi*fz);

[b1,a1] = ss2tf(A,B,C,D,1);
[b2,a2] = ss2tf(A,B,C,D,2);

frf(1,:,1) = polyval(b1(1,:),z)./polyval(a1,z);
frf(1,:,2) = polyval(b1(2,:),z)./polyval(a1,z);
frf(2,:,1) = polyval(b2(1,:),z)./polyval(a2,z);
frf(2,:,2) = polyval(b2(2,:),z)./polyval(a2,z);

Постройте оценки и наложите теоретические предсказания.

for jk = 1:2
    for kj = 1:2
        subplot(2,2,2*(jk-1)+kj)
        plot(f,20*log10(abs(FRF(:,jk,kj))))
        hold on
        plot(fz*Fs,20*log10(abs(frf(jk,:,kj))))
        hold off
        axis([0 Fs/2 -100 0])
        title(sprintf('Input %d, Output %d',jk,kj))
    end
end

Постройте оценки при помощи синтаксиса modalfrf без выходных аргументов.

figure
modalfrf(u',y',Fs,wind,nove,'Sensor','dis')

Оцените собственные частоты, коэффициенты затухания и формы режима системы. Используйте выбирающий пик метод для вычисления.

[fn,dr,ms] = modalfit(FRF,f,Fs,2,'FitMethod','pp');
fn

fn = 
fn(:,:,1) =

    3.8466    3.8466
    3.8495    3.8495


fn(:,:,2) =

    3.8492    3.8490
    3.8552   14.4684

Сравните собственные частоты с теоретическими предсказаниями для незатухающей системы.

undamped = sqrt(eig([2*k -k;-k/m 2*k/m]))/2/pi

undamped = 2×1

    3.8470
   14.4259

Вычислите собственные частоты, коэффициенты затухания и формы режима для two-input/three-output системы, взволнованной несколькими пакетами случайного шума. Каждый пакет служит в течение 1 секунды, и существует 2 секунды между концом каждого пакета и запуском следующего. Данные производятся на уровне 4 кГц.

Загрузите файл данных. Постройте входные сигналы и выходные сигналы.

load modaldata

subplot(2,1,1)
plot(Xburst)
title('Input Signals')
subplot(2,1,2)
plot(Yburst)
title('Output Signals')

Вычислите функцию частотной характеристики. Задайте прямоугольное окно с длиной, равной пакетному периоду и никакому перекрытию между смежными сегментами.

burstLen = 12000;
[frf,f] = modalfrf(Xburst,Yburst,fs,burstLen);

Визуализируйте диаграмму стабилизации и возвратите устойчивые собственные частоты. Задайте максимальный порядок модели 30 режимов.

figure
modalsd(frf,f,fs,'MaxModes',30);

Увеличьте масштаб графика. Усредненная функция отклика имеет максимумы на уровне 373 Гц, 852 Гц и 1 371 Гц, который соответствует физическим частотам системы. Сохраните максимумы в переменную.

phfr = [373 852 1371];

Вычислите модальные параметры с помощью алгоритма комплексной экпоненты наименьших квадратов (LSCE). Задайте порядок модели 6 режимов и задайте физические частоты для этих 3 режимов, определенных из диаграммы стабилизации. Функция генерирует один набор собственных частот и коэффициентов затухания для каждой входной ссылки.

[fn,dr,ms,ofrf] = modalfit(frf,f,fs,6,'PhysFreq',phfr);

Постройте восстановленную функцию частотной характеристики и сравните их с исходными единицами.

for k = 1:2
    for m = 1:3
        subplot(2,3,m+3*(k-1))
        plot(f/1000,10*log10(abs(frf(:,m,k))))
        hold on
        plot(f/1000,10*log10(abs(ofrf(:,m,k))))
        hold off
        text(1,-50,[['Output ';' Input '] num2str([m k]')])
        ylim([-100 -40])
    end
end
subplot(2,3,2)
title('Frequency-Response Functions')