Распределение хи-квадрат

Обзор

Хи-квадрат (χ²) распределение является семейством кривых с одним параметром. Распределение хи-квадрат обычно используется в тестировании гипотезы, особенно тест хи-квадрата для качества подгонки.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с распределением хи-квадрат.

Используйте специфичные для распределения функции (chi2cdf, chi2inv, chi2pdf, chi2rnd, chi2stat) с заданными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принять параметры нескольких распределений хи-квадрат.
Используйте типовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('Chisquare') и параметры.

Параметры

Распределение хи-квадрат использует следующий параметр.

Параметр	Описание	Поддержка
ню (ν)	Степени свободы	ν = 1, 2, 3,...

Параметр степеней свободы обычно является целым числом, но функции хи-квадрата принимают любое положительное значение.

Сумма двух случайных переменных хи-квадрата со степенями свободы ν ₁ и ν ₂ является случайной переменной хи-квадрата со степенями свободы ν = ν ₁ + ν ₂.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности (PDF) распределения хи-квадрат

$y = f (x | ν) = \frac{x^{(ν - 2) / 2} e^{- x / 2}}{2^{\frac{ν}{2}} Γ (ν / 2)},$

где ν является степенями свободы и Γ (·) Гамма функция.

Для примера смотрите, Вычисляют Распределение хи-квадрат PDF.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) распределения хи-квадрат

$p = F (x | ν) = \int_{0}^{x} \frac{t^{(ν - 2) / 2} e^{- t / 2}}{2^{ν / 2} Γ (ν / 2)} d t,$

где ν является степенями свободы и Γ (·) Гамма функция. p результата является вероятностью, что одно наблюдение от распределения хи-квадрат со степенями свободы ν падает в интервале [0, x].

Для примера смотрите, Вычисляют Распределение хи-квадрат cdf.

Обратная кумулятивная функция распределения

Обратная кумулятивная функция распределения (icdf) распределения хи-квадрат

$x = F^{- 1} (p | ν) = {x : F (x | ν) = p},$

где

$p = F (x | ν) = \int_{0}^{x} \frac{t^{(ν - 2) / 2} e^{- t / 2}}{2^{ν / 2} Γ (ν / 2)} d t,$

ν является степенями свободы и Γ (·) Гамма функция. p результата является вероятностью, что одно наблюдение от распределения хи-квадрат со степенями свободы ν падает в интервале [0, x].

Описательная статистика

Средним значением распределения хи-квадрат является ν.

Отклонение распределения хи-квадрат 2ν.

Примеры

Вычислите Распределение хи-квадрат PDF

Скрипт Open Live Script

Вычислите PDF распределения хи-квадрат с 4 степенями свободы.

x = 0:0.2:15;
y = chi2pdf(x,4);

Постройте PDF.

figure;
plot(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type line.

Распределение хи-квадрат скашивается направо, особенно для немногих степеней свободы.

Вычислите Распределение хи-квадрат cdf

Скрипт Open Live Script

Вычислите cdf распределения хи-квадрат с 4 степенями свободы.

x = 0:0.2:15;
y = chi2cdf(x,4);

Постройте cdf.

figure;
plot(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type line.

Связанные распределения

F Распределение — распределение F является распределением 2D параметра, которое имеет параметры ν ₁ (степени свободы числителя) и ν ₂ (степени свободы знаменателя). Распределение F может быть задано как отношение $F = \frac{\frac{χ_{1}^{2}}{ν_{1}}}{\frac{χ_{2}^{2}}{ν_{2}}}$ , где χ²₁и χ²₂ и хи-квадрат, распределенный с ν ₁ и ν ₂ степени свободы, соответственно.
Гамма Распределение — гамма распределение является непрерывным распределением 2D параметра, которое имеет параметры a (форма) и b (шкала). Распределение хи-квадрат равно гамма распределению с 2a = ν и b = 2.
Нецентральное Распределение хи-квадрат — нецентральное распределение хи-квадрат является непрерывным распределением 2D параметра, которое имеет параметры ν (степени свободы) и δ (нецентрированность). Нецентральное распределение хи-квадрат равно распределению хи-квадрат когда δ = 0.
Нормальное распределение — нормальное распределение является непрерывным распределением 2D параметра, которое имеет параметры μ (среднее значение) и σ (стандартное отклонение). Стандартное нормальное распределение происходит когда μ = 0 и σ = 1.
Если Z ₁, Z ₂, …, Z _n является стандартными нормальными случайными переменными, то $\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2}$ имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы ν = n – 1.
Если набор наблюдений n нормально распределен с отклонением σ² и демонстрационное отклонение s²то $\frac{(n - 1) s^{2}}{σ^{2}}$ имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы ν = n – 1. Это отношение используется, чтобы вычислить доверительные интервалы для оценки нормального параметра σ² в функции normfit.
T Распределение студента — распределение t Студента является непрерывным распределением с одним параметром, которое имеет параметр ν (степени свободы). Если Z имеет стандартное нормальное распределение и χ² имеет распределение хи-квадрат со степенями свободы ν, затем $t = \frac{Z}{\sqrt{χ^{2} / ν}}$ имеет распределение t Студента со степенями свободы ν.
Распределение Уишарта — распределение Уишарта является более высоким размерным аналогом распределения хи-квадрат.

Ссылки

[1] Abramowitz, Милтон, и Ирен А. Стегун, руководство редакторов Математических функций: С Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. 9. Дуврская печать.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Дуврские Книги по Математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр Publ, 2013.

[2] Devroye, Люк. Неоднородная Генерация случайных переменных. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, M., Н. Гастингс и Б. Пикок. Статистические Распределения. 2-й редактор, Хобокен, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 1993.

[4] Kreyszig, Эрвин. Вводная математическая статистика: принципы и методы. Нью-Йорк: Вайли, 1970.

Документация