Гамма распределение

Обзор

Гамма распределение является семейством кривых 2D параметра. Гамма суммы моделей распределения экспоненциально распределенных случайных переменных и обобщают и распределения хи-квадрат и экспоненциальные распределения.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работать с гамма распределением.

Создайте объект GammaDistribution вероятностного распределения путем строения распределения вероятности к выборочным данным (fitdist) или настройкой значений параметров (makedist). Затем используйте объектные функции, чтобы вычислять распределение, сгенерировать случайные числа, и так далее.
Работа с гамма распределением в интерактивном режиме при помощи приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать объектные функции.
Используйте специфичные для распределения функции (gamcdf, gampdf, gaminv, gamlike, gamstat, gamfit, gamrnd, randg) с заданными параметрами распределения. Специфичные для распределения функции могут принять параметры нескольких гамма распределений.
Используйте типовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('Gamma') и параметры.

Параметры

Гамма распределение использует следующие параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`a`	Форма	a `> 0`
`b`	Шкала	b `> 0`

Стандартное гамма распределение имеет модульную шкалу.

Сумма двух гамма случайных переменных параметрами формы a ₁ и a ₂ оба с масштабным коэффициентом b является гамма случайной переменной параметром формы a = a ₁ + a ₂ и масштабный коэффициент b.

Оценка параметра

Функция правдоподобия является функцией плотности вероятности (PDF), просматриваемая в зависимости от параметров. Оценки наибольшего правдоподобия (MLEs) являются оценками параметра, которые максимизируют функцию правдоподобия для фиксированных значений x.

Средства оценки наибольшего правдоподобия a и b для гамма распределения являются решениями одновременных уравнений

$\begin{matrix} \log \hat{a} - ψ (\hat{a}) = \log (\bar{x} / {(\prod_{i = 1}^{n} x_{i})}^{1 / n}) \\ \hat{b} = \frac{\bar{x}}{\hat{a}} \end{matrix}$

где $\bar{x}$ демонстрационное среднее значение для демонстрационного x ₁, x ₂, …, x _n, и Ψ является дигамма-функцией psi.

Чтобы соответствовать гамма распределению к данным и найти оценки параметра, использовать gamfit, fitdist, или mle. В отличие от этого, gamfit и mle, который возвращаемый параметр оценивает, fitdist возвращает подходящий объект GammaDistribution вероятностного распределения. Свойства объектов a и b сохраните оценки параметра.

Для примера сочтите целесообразным Гамма Распределение к Данным.

Функция плотности вероятности

PDF гамма распределения

$y = f (x | a, b) = \frac{1}{b^{a} Γ (a)} x^{a - 1} e^{\frac{- x}{b}},$

где Γ (·) Гамма функция.

Для примера смотрите, Вычисляют Гамма Распределение PDF.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) гамма распределения

$p = F (x | a, b) = \frac{1}{b^{a} Γ (a)} \int_{0}^{x} t^{a - 1} e^{\frac{- t}{b}} d t .$

p результата является вероятностью, что одно наблюдение от гамма распределения параметрами a и b падает в интервале [0 x].

Для примера смотрите, Вычисляют Гамма Распределение cdf.

Гамма cdf связана с неполной гамма функцией gammainc

$f (x | a, b) = gammainc (\frac{x}{b}, a) .$

Обратная кумулятивная функция распределения

Обратная кумулятивная функция распределения (icdf) гамма распределения в терминах гаммы cdf

$x = F^{- 1} (p | a, b) = {x : F (x | a, b) = p},$

где

$p = F (x | a, b) = \frac{1}{b^{a} Γ (a)} \int_{0}^{x} t^{a - 1} e^{\frac{- t}{b}} d t .$

x результата является значением, таким образом, что наблюдение от гамма распределения параметрами a и b падает в области значений [0 x] с вероятностью p.

Предыдущее интегральное уравнение не имеет никакого известного аналитического решения. gaminv использует итерационный подход (Метод ньютона), чтобы сходиться на решении.

Описательная статистика

Средним значением гамма распределения является a b.

Отклонением гамма распределения является a b².

Примеры

Подходящее гамма распределение к данным

Скрипт Open Live Script

Сгенерируйте выборку 100 гамма случайные числа с формой 3 и масштабируйте 5.

x = gamrnd(3,5,100,1);

Соответствуйте гамма распределению к данным с помощью fitdist.

pd = fitdist(x,'gamma')

pd = 
  GammaDistribution

  Gamma distribution
    a =  2.7783   [2.1374, 3.61137]
    b = 5.73438   [4.30198, 7.64372]

fitdist возвращает GammaDistribution объект. Интервалы рядом с оценками параметра составляют 95% доверительных интервалов для параметров распределения.

Оцените параметры a и b использование функций распределения.

[muhat,muci] = gamfit(x) % Distribution specific function

muhat = 1×2

    2.7783    5.7344

muci = 2×2

    2.1374    4.3020
    3.6114    7.6437

[muhat2,muci2] = mle(x,'distribution','gamma') % Generic function

muhat2 = 1×2

    2.7783    5.7344

muci2 = 2×2

    2.1374    4.3020
    3.6114    7.6437

Вычислите Гамма Распределение PDF

Скрипт Open Live Script

Вычислите pdfs гамма распределения с несколькими формами и масштабными коэффициентами.

x = 0:0.1:50;
y1 = gampdf(x,1,10);
y2 = gampdf(x,3,5);
y3 = gampdf(x,6,4);

Постройте pdfs.

figure;
plot(x,y1)
hold on
plot(x,y2)
plot(x,y3)
hold off
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend('a = 1, b = 10','a = 3, b = 5','a = 6, b = 4')

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type line. These objects represent a = 1, b = 10, a = 3, b = 5, a = 6, b = 4.

Вычислите Гамма Распределение cdf

Скрипт Open Live Script

Вычислите cdfs гамма распределения с несколькими формами и масштабными коэффициентами.

x = 0:0.1:50;
y1 = gamcdf(x,1,10);
y2 = gamcdf(x,3,5);
y3 = gamcdf(x,6,4);

Постройте cdfs.

figure;
plot(x,y1)
hold on
plot(x,y2)
plot(x,y3)
hold off
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')
legend('a = 1, b = 10','a = 3, b = 5','a = 6, b = 4',"Location","northwest")

Figure contains an axes object. The axes object contains 3 objects of type line. These objects represent a = 1, b = 10, a = 3, b = 5, a = 6, b = 4.

Сравните Гамму и Нормальное распределение pdfs

Скрипт Open Live Script

Гамма распределение имеет параметр формы $a$ и масштабный коэффициент $b$ . Для большого $a$ , гамма распределение тесно аппроксимирует нормальное распределение средним значением $μ = ab$ и отклонение $σ^{2} = a b^{2}$ .

Вычислите PDF гамма распределения параметрами a = 100 и b = 5.

a = 100;
b = 5;
x = 250:750;
y_gam = gampdf(x,a,b);

Для сравнения вычислите среднее значение, стандартное отклонение и PDF нормального распределения, которое аппроксимирует гамма.

mu = a*b

mu = 500

sigma = sqrt(a*b^2)

sigma = 50

y_norm = normpdf(x,mu,sigma);

Постройте pdfs гамма распределения и нормального распределения на той же фигуре.

plot(x,y_gam,'-',x,y_norm,'-.')
title('Gamma and Normal pdfs')
xlabel('Observation')
ylabel('Probability Density')
legend('Gamma Distribution','Normal Distribution')

Figure contains an axes object. The axes object with title Gamma and Normal pdfs contains 2 objects of type line. These objects represent Gamma Distribution, Normal Distribution.

PDF нормального распределения аппроксимирует PDF гамма распределения.

Связанные распределения

Бета Распределение — бета распределение является непрерывным распределением 2D параметра, которое имеет параметры a (сначала параметр формы) и b (второй параметр формы). Если X ₁ и X ₂ имеет стандартные гамма распределения параметрами формы a ₁ и a ₂ соответственно, то $Y = \frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2}}$ имеет бета распределение параметрами формы a ₁ и a ₂.
Распределение хи-квадрат — распределение хи-квадрат является непрерывным распределением с одним параметром, которое имеет параметр ν (степени свободы). Распределение хи-квадрат равно гамма распределению с 2a = ν и b = 2.
Экспоненциальное распределение — экспоненциальное распределение является непрерывным распределением с одним параметром, которое имеет параметр μ (среднее значение). Экспоненциальное распределение равно гамма распределению с a = 1 и b = μ. Сумма k экспоненциально распределила случайные переменные со средним μ, гамма распределение параметрами a = k и μ = b.
Распределение Nakagami — распределение Nakagami является непрерывным распределением 2D параметра параметром формы µ и масштабный коэффициент ω. Если x имеет распределение Nakagami, то x² имеет гамма распределение с a = μ и a b = ω.
Нормальное распределение — нормальное распределение является непрерывным распределением 2D параметра, которое имеет параметры μ (среднее значение) и σ (стандартное отклонение). Когда a является большим, гамма распределение тесно аппроксимирует нормальное распределение μ = a b и σ² = a b². Для примера смотрите, Сравнивают Гамму и Нормальное распределение pdfs.

Ссылки

[1] Abramowitz, Милтон, и Ирен А. Стегун, руководство редакторов Математических функций: С Формулами, Графиками и Математическими Таблицами. 9. Дуврская печать.; [Nachdr. der Ausg. von 1972]. Дуврские Книги по Математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Дувр Publ, 2013.

[2] Эванс, Merran, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические Распределения. 2-й редактор Нью-Йорк: Дж. Вайли, 1993.

[3] Хан, Джеральд Дж. и Сэмюэль С. Шапиро. Статистические модели в разработке. Библиотека классики Вайли. Нью-Йорк: Вайли, 1994.

[4] Беззаконный, Статистические модели Джералда Ф. и Методы для Пожизненных Данных. 2-й редактор Вайли Серис в Вероятности и Статистике. Хобокен, Нью-Джерси: Wiley-межнаука, 2003.

[5] Более кроткий, Уильям К. и Луис А. Эскобар. Статистические методы для данных о надежности. Ряд Вайли в вероятности и статистике. Прикладной раздел вероятности и статистики. Нью-Йорк: Вайли, 1998.

[6] Marsaglia, Джордж и Вай Вань Цан. “Простой метод для Генерации Гамма Переменных”. Транзакции ACM на Mathematical Software 26, № 3 (1 сентября 2000): 363–72. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8.

Документация