Якобиан вектор-функции является матрицей частных производных этой функции.

Вычислите якобиевскую матрицу [x*y*z,y^2,x + z] относительно [x,y,z].

syms x y z
jacobian([x*y*z,y^2,x + z],[x,y,z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}y\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}y\\ 0& 2\hspace{0.17em}y& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

Теперь вычислите якобиан [x*y*z,y^2,x + z] относительно [x;y;z].

jacobian([x*y*z,y^2,x + z], [x;y;z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}y\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}y\\ 0& 2\hspace{0.17em}y& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

Якобиевская матрица является инвариантной к ориентации вектора во втором входном положении.

Якобиан скалярной функции является транспонированием своего градиента.

Вычислите якобиан 2*x + 3*y + 4*z относительно [x,y,z].

syms x y z
jacobian(2*x + 3*y + 4*z,[x,y,z])

ans = $$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\end{array}\right)$$

Теперь вычислите градиент того же выражения.

gradient(2*x + 3*y + 4*z,[x,y,z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$$

Якобиан функции относительно скаляра является первой производной этой функции. Для вектор-функции якобиан относительно скаляра является вектором из первых производных.

Вычислите якобиан [x^2*y,x*sin(y)] относительно x.

syms x y
jacobian([x^2*y,x*sin(y)],x)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}y\\ \sin \left(y\right)\end{array}\right)$$

Теперь вычислите производные.

diff([x^2*y,x*sin(y)],x)

ans = $$\left(\begin{array}{cc}2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}y& \sin \left(y\right)\end{array}\right)$$

Задайте полярные координаты $$r(t)$$, $$\varphi (t)$$, и $$\theta (t)$$ это - функции времени.

syms r(t) phi(t) theta(t)

Задайте координатные сферические координаты формы преобразования к Декартовым координатам.

R = [r*sin(phi)*cos(theta), r*sin(phi)*sin(theta), r*cos(phi)]

R(t) = $$\left(\begin{array}{ccc}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\end{array}\right)$$

Найдите якобиан координатного изменения от сферических координат до Декартовых координат.

jacobian(R,[r,phi,theta])

ans(t) = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& -\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\\ \sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\\ \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)& -\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& 0\end{array}\right)$$