Прогнозирование MMSE условных моделей отклонения

Что такое прогнозы MMSE?

Общая цель условного моделирования отклонения генерирует прогнозы условного процесса отклонения за будущий период времени. Таким образом, учитывая условный процесс отклонения $σ_{}^{12}, σ_{}^{22}, \dots, σ_{N}^{2}$ и горизонт прогноза h, сгенерируйте прогнозы для $σ_{N + 1}^{2}, σ_{N + 2}^{2}, \dots, σ_{N + h}^{2} .$

Пусть ${\hat{σ}}_{t + 1}^{2}$ обозначьте прогноз для отклонения во время t + 1, условное выражение на истории процесса до времени t, _Ht. Прогноз минимальной среднеквадратичной погрешности (MMSE) является прогнозом ${\hat{σ}}_{t + 1}^{2}$ это минимизирует условное выражение ожидаемая квадратная потеря,

$E (σ_{t + 1}^{2} - {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} | H_{t}) .$

Минимизация этой функции потерь приводит к прогнозу MMSE,

${\hat{σ}}_{t + 1}^{2} = E (σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) = E (ε_{t + 1}^{2} | H_{t}) .$

Прогнозы EGARCH MMSE

Для модели EGARCH прогноз MMSE найден для логарифмического условного отклонения,

$журнал {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} = E (журнал σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) .$

Для условных прогнозов отклонения процессов EGARCH возвращается forecast, exponentiated MMSE регистрируют условный прогноз отклонения,

${\hat{σ}}_{t + 1}^{2} = \exp {журнал {\hat{σ}}_{t + 1}^{2}} .$

Это приводит к небольшому смещению прогноза из-за неравенства Иенсена,

$E (σ_{t + 1}^{2}) \geq \exp {E (журнал σ_{t + 1}^{2})} .$

Как альтернатива прогнозированию MMSE, можно провести симуляции Монте-Карло, чтобы предсказать процессы EGARCH. Симуляции Монте-Карло приводят к несмещенным прогнозам для моделей EGARCH. Однако прогнозы Монте-Карло подвергаются ошибке Монте-Карло (который можно уменьшать путем увеличения объема выборки симуляции).

Как `forecast` генерирует прогнозы MMSE

Функция forecast генерирует прогнозы MMSE рекурсивно. Когда вы вызываете forecast, необходимо задать преддемонстрационные ответы Y0, и можно опционально задать преддемонстрационные условные отклонения V0 с помощью аргумента пары "имя-значение" 'V0'. Если предсказываемая модель включает среднее смещение, сообщенное ненулевым свойством Offset, forecast вычитает срок смещения из преддемонстрационных ответов, чтобы создать преддемонстрационные инновации.

Чтобы начать предсказывать от конца наблюдаемого ряда, скажем Y, используют последние несколько наблюдений за Y как преддемонстрационные ответы Y0, чтобы инициализировать прогноз. Минимальное количество преддемонстрационных ответов должно было инициализировать прогнозирование, хранится в свойстве Q модели.

При определении преддемонстрационных условных отклонений V0 минимальное количество преддемонстрационных условных отклонений должно было инициализировать прогнозирование, хранится в свойстве P для GARCH (P, Q) и GJR (P, Q) модели. Для EGARCH (P, Q) модели, минимальное количество преддемонстрационных условных отклонений должно было инициализировать прогнозирование, макс. (P, Q).

Обратите внимание на то, что для всех моделей отклонения, если вы предоставляете, по крайней мере, макс. (P, Q) + преддемонстрационные наблюдения ответа P Y0, forecast выводит любые необходимые преддемонстрационные условные отклонения V0 для вас. Если вы предоставляете преддемонстрационные наблюдения, но менее, чем макс. (P, Q) + P, forecast устанавливает любые необходимые преддемонстрационные условные отклонения, равные безусловному отклонению модели.

Модель GARCH

Функция forecast генерирует прогнозы MMSE для моделей GARCH рекурсивно.

Рассмотрите генерирующиеся прогнозы для модели GARCH(1,1), $ε_{t} = σ_{t} z_{t},$ где

$σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} .$

Учитывая преддемонстрационные инновации $ε_{T}$ и преддемонстрационное условное отклонение $σ_{T}^{2},$ прогнозы рекурсивно сгенерированы можно следующим образом:

${\hat{σ}}_{T + 1}^{2} = κ + γ_{1} σ_{T}^{2} + α_{1} ε_{T}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 2}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 3}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

Обратите внимание на то, что инновации предсказаны с помощью идентичности

$E (ε_{t + 1}^{2} | H_{t}) = E (σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) = {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} .$

Эта рекурсия сходится к безусловному отклонению процесса,

$σ_{ε}^{2} = \frac{κ}{(1 - γ_{1} - α_{1})} .$

Модель GJR

Функция forecast генерирует прогнозы MMSE для моделей GJR рекурсивно.

Рассмотрите генерирующиеся прогнозы для модели GJR(1,1), $ε_{t} = σ_{t} z_{t},$ где $σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} σ_{t - 1}^{2} + α_{1} ε_{t - 1}^{2} + ξ_{1} I [ε_{t - 1} < 0] ε_{t - 1}^{2} .$ Учитывая преддемонстрационные инновации $ε_{T}$ и преддемонстрационное условное отклонение $σ_{T}^{2},$ прогнозы рекурсивно сгенерированы можно следующим образом:

${\hat{σ}}_{T + 1}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T}^{2} + α_{1} ε_{T}^{2} + ξ_{1} I [ε_{T} < 0] ε_{T}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 2}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} + \frac{}{12} ξ_{1} {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}$
${\hat{σ}}_{T + 3}^{2} = κ + γ_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} + α_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} + \frac{}{12} ξ_{1} {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

Обратите внимание на то, что ожидаемое значение индикатора является 1/2 для инновационного процесса со средним нулем и этим, инновации предсказаны с помощью идентичности

$E (ε_{t + 1}^{2} | H_{t}) = E (σ_{t + 1}^{2} | H_{t}) = {\hat{σ}}_{t + 1}^{2} .$

Эта рекурсия сходится к безусловному отклонению процесса,

$σ_{ε}^{2} = \frac{κ}{(1 - γ_{1} - α_{1} - \frac{}{12} ξ_{1})} .$

Модель EGARCH

Функция forecast генерирует прогнозы MMSE для моделей EGARCH рекурсивно. Прогнозы первоначально сгенерированы для логарифмических условных отклонений, и затем exponentiated, чтобы предсказать условные отклонения. Это приводит к небольшому смещению прогноза.

Рассмотрите генерирующиеся прогнозы для модели EGARCH(1,1), $ε_{t} = σ_{t} z_{t},$ где

$журнал σ_{t}^{2} = κ + γ_{1} журнал σ_{t - 1}^{2} + α_{1} [| \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} | - E {| \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} |}] + ξ_{1} \frac{ε_{t - 1}}{σ_{t - 1}} .$

Форма термина ожидаемого значения зависит от выбора инновационного распределения, t Гауссова или Студента. Учитывая преддемонстрационные инновации $ε_{T}$ и преддемонстрационное условное отклонение $σ_{T}^{2},$ прогнозы рекурсивно сгенерированы можно следующим образом:

$журнал {\hat{σ}}_{T + 1}^{2} = κ + γ_{1} журнал σ_{T}^{2} + α_{1} [| \frac{ε_{T}}{σ_{T}} | - E {| \frac{ε_{T}}{σ_{T}} |}] + ξ_{1} \frac{ε_{T}}{σ_{T}}$
$журнал {\hat{σ}}_{T + 2}^{2} = κ + γ_{1} журнал {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}$
$журнал {\hat{σ}}_{T + 3}^{2} = κ + γ_{1} журнал {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}$

$⋮$

Заметьте, что будущие абсолютные стандартизированные инновации и будущие инновации каждый заменяются их ожидаемым значением. Это означает, что оба, ДУГА и условия рычагов являются нулем для всех прогнозов, которые являются условным выражением на будущих инновациях. Эта рекурсия сходится к безусловному логарифмическому отклонению процесса,

$журнал σ_{ε}^{2} = \frac{κ}{(1 - γ_{1})} .$

forecast возвращает прогнозы exponentiated, $\exp {журнал {\hat{σ}}_{T + 1}^{2}}, \exp {журнал {\hat{σ}}_{T + 2}^{2}}, \dots,$ которые имеют предел

$\exp {\frac{κ}{(1 - γ_{1})}} .$

Смотрите также

Объекты

egarch | garch | gjr

Функции

forecast

Связанные примеры

Больше о

Прогнозирование Монте-Карло условных моделей отклонения

Документация