Цель анализа временных рядов генерирует прогнозы ответов за будущий период времени. Таким образом, можно сгенерировать прогнозы для y T + 1, y T + 2..., y T + h, учитывая следующее:
Наблюдаемая серия y 1, y 2..., yT
Горизонт прогноза h
Нестохастический x предикторов 1, x 2..., xT..., x T + h, где xk является r - вектор, содержащий измерения предикторов r, наблюдаемых во время k
Модель регрессии с ошибками ARIMA
где H (L) и N (L) являются составными полиномами оператора задержки авторегрессивного и скользящего среднего значения (возможно содержащий интегрирование), соответственно.
Пусть обозначьте прогноз процесса во время t + 1, условное выражение на истории процесса до времени t (Ht), и примите, что предикторы фиксируются. Прогноз минимальной среднеквадратичной погрешности (MMSE) является прогнозом это минимизирует ожидаемую квадратную потерю,
Минимизация этой функции потерь приводит к прогнозу MMSE,
forecast генерирует прогнозы MMSE рекурсивно. Когда вы вызываете forecast, необходимо задать модель regARIMA (Mdl) и горизонт прогноза. Можно также задать преддемонстрационные наблюдения (Y0), предикторы (X0), инновации (E0) и условные воздействия (U0) аргументы пары "имя-значение" использования.
Чтобы начать предсказывать yt, запускающийся во время T + 1, используйте последние несколько наблюдений за yt и Xt как преддемонстрационные ответы и предикторы, чтобы инициализировать прогноз. Также можно задать преддемонстрационные безусловные воздействия или инновации.
Однако, когда вы задаете преддемонстрационные данные:
Если вы обеспечиваете преддемонстрационные данные о предикторе (X0), то необходимо также обеспечить, предиктор предсказывает (XF). Это - лучшая практика установить X0 на ту же матрицу предиктора, которая оценивает параметры. Если вы не обеспечиваете преддемонстрационные и будущие предикторы, то forecast игнорирует компонент регрессии в модели.
Если ошибочный процесс в Mdl содержит сезонный или несезонный авторегрессивный компонент или сезонное или несезонное интегрирование, то forecast требует, чтобы минимум предварительной выборки P безусловные воздействия инициализировал прогноз. Свойство P Mdl хранит P.
Если ошибочный процесс в Mdl содержит сезонный или несезонный компонент скользящего среднего значения, то forecast требует, чтобы минимум преддемонстрационных инноваций Q инициализировал прогноз. Свойство Q Mdl хранит Q.
Если вы обеспечиваете достаточную сумму преддемонстрационных безусловных воздействий, то forecast игнорирует Y0 и X0. Если вы также не обеспечиваете E0, но обеспечиваете достаточно преддемонстрационных безусловных воздействий, то forecast выводит необходимое количество преддемонстрационных инноваций из ошибочной модели ARIMA и U0.
Если вы обеспечиваете достаточный объем преддемонстрационных ответов и предикторов (и не обеспечивайте U0), то forecast использует модель регрессии, чтобы вывести преддемонстрационные безусловные воздействия.
Если вы не обеспечиваете преддемонстрационные наблюдения, то forecast устанавливает необходимое количество преддемонстрационных безусловных воздействий и инноваций к 0.
Если вы обеспечиваете недостаточный объем преддемонстрационных наблюдений, то forecast возвращает ошибку.
Рассмотрите генерирующиеся прогнозы из модели регрессии с ARMA (3,2) ошибки:
где a (L) и B (L) является полиномами оператора задержки. Самая большая задержка AR равняется 3, самая большая задержка MA равняется 2. Эта модель не содержит сезонных задержек, ни интегрирования. Поэтому P = 3 и Q = 2. Чтобы предсказать эту модель, вам нужны три преддемонстрационных ответа и предикторы, или три преддемонстрационных безусловных воздействия и две преддемонстрационных инновации.
Учитывая преддемонстрационные безусловные воздействия преддемонстрационные инновации и будущие предикторы можно предсказать модель можно следующим образом:
...
Обратите внимание на то, что:
Будущие инновации берут свое безусловное среднее значение, 0.
Для стационарных ошибочных процессов, таких как этот:
Предсказанные безусловные воздействия сходятся к своему безусловному среднему значению,
c + Xtβ управляет долгосрочным поведением предсказанных ответов.
Ошибка прогноза для s - шаг вперед прогноз модели регрессии с ошибками ARIMA
где дивиденд, ψ (L) является бесконечным полиномом оператора задержки и σ 2, является инновационным отклонением.
Если ошибочный процесс является стационарным, то коэффициенты ψ (L) являются абсолютно суммируемыми. Поэтому MSE (среднеквадратичная погрешность) сходится к безусловному отклонению процесса [1].
Если ошибочный процесс не является стационарным, то MSE растет с увеличением s.
[1] Поле, G. E. P. Г. М. Дженкинс и Г. К. Рейнсель. Анализ timeseries: Прогнозирование и Управление. 3-й редактор Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994.
