Стационарный трендом по сравнению со стационарными различием процессами

Неустановившиеся процессы

Стационарный стохастический процесс является стандартным блоком многих эконометрических моделей временных рядов. Много наблюдаемых временных рядов, однако, имеют эмпирические функции, которые противоречивы с предположениями о стационарности. Например, следующий график показывает ежеквартальный американский GDP, измеренный от 1 947 до 2005. Существует очень очевидный восходящий тренд в этом ряду, который нужно включить в любую модель для процесса.

load Data_GDP
plot(Data)
xlim([0,234])
title('Quarterly U.S. GDP, 1947-2005')

Отклоняющееся среднее значение является общим нарушением стационарности. Существует две популярных модели для неустановившегося ряда с отклоняющимся средним значением.

Стационарный тренд: средний тренд детерминирован. Если тренд оценен и удален из данных, остаточный ряд является стационарным стохастическим процессом.
Стационарное различие: средний тренд является стохастическим. Дифференцирование времена серии D приводит к стационарному стохастическому процессу.

Различие между детерминированным и стохастическим трендом имеет важные последствия для долгосрочного поведения процесса:

Временные ряды с детерминированным трендом всегда возвращаются к тренду в конечном счете (эффекты шоков в конечном счете устраняются). Предскажите, что интервалы имеют постоянную ширину.
Временные ряды со стохастическим трендом никогда не восстанавливаются от шоков до системы (эффекты шоков являются постоянными). Предскажите, что интервалы растут в зависимости от времени.

К сожалению, для любого конечного объема данных существует детерминированный и стохастический тренд, который соответствует данным одинаково хорошо (Гамильтон, 1994). Модульные корневые тесты являются инструментом для оценки присутствия стохастического тренда в наблюдаемом ряду.

Стационарный тренд

Можно записать стационарный трендом процесс, _yt, как

$y_{t} = μ_{t} + ε_{t},$

где:

$μ_{t}$ детерминированный средний тренд.
$ε_{t}$ стационарный стохастический процесс со средним нулем.

В некоторых приложениях тренд представляет главный интерес. Методы разложения временных рядов фокусируются на разложении $μ_{t}$ в различные источники тренда (например, светский тренд и сезонный компонент компонента). Можно анализировать ряд непараметрическим образом с помощью фильтров (скользящие средние значения), или параметрически с помощью методов регрессии.

Учитывая оценку ${\hat{μ}}_{t}$ , можно исследовать остаточный ряд $y_{t} - {\hat{μ}}_{t}$ для автокорреляции, и опционально моделируют его с помощью стационарной модели стохастического процесса.

Стационарное различие

В подходе моделирования Поля-Jenkins [2], неустановившиеся временные ряды являются differenced, пока стационарность не достигается. Можно записать стационарный различием процесс, _yt, как

$Δ^{D} y_{t} = μ + ψ (L) ε_{t},$

где:

$Δ^{D} = {(1 - L)}^{D}$ оператор дифференцирования th-степени D.
$ψ (L) = (1 + ψ_{1} L + ψ_{2} L^{2} + \dots)$ полином оператора задержки бесконечной степени с абсолютно суммируемыми коэффициентами и всеми корнями, лежащими вне модульного круга.
$ε_{t}$ некоррелированый инновационный процесс со средним нулем.

Временные ряды, которые могут быть сделаны стационарными дифференцированием, называются интегрированными процессами. А именно, когда различия D требуются, чтобы делать ряд стационарным, тот ряд, как говорят, интегрирован порядка D, обозначил I (D). Процессы с D ≥ 1, как часто говорят, имеют модульный корень.

Ссылки

[1] Гамильтон, J. D. Анализ timeseries. Принстон, NJ: Издательство Принстонского университета, 1994.

[2] Поле, G. E. P. Г. М. Дженкинс и Г. К. Рейнсель. Анализ timeseries: Прогнозирование и Управление. 3-й редактор Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994.

Документация

Стационарный трендом по сравнению со стационарными различием процессами

Неустановившиеся процессы

Стационарный тренд

Стационарное различие

Ссылки

Связанные примеры

Больше о

Документация Econometrics Toolbox

Поддержка