Стационарный стохастический процесс является стандартным блоком многих эконометрических моделей временных рядов. Много наблюдаемых временных рядов, однако, имеют эмпирические функции, которые противоречивы с предположениями о стационарности. Например, следующий график показывает ежеквартальный американский GDP, измеренный от 1 947 до 2005. Существует очень очевидный восходящий тренд в этом ряду, который нужно включить в любую модель для процесса.
load Data_GDP plot(Data) xlim([0,234]) title('Quarterly U.S. GDP, 1947-2005')
Отклоняющееся среднее значение является общим нарушением стационарности. Существует две популярных модели для неустановившегося ряда с отклоняющимся средним значением.
Стационарный тренд: средний тренд детерминирован. Если тренд оценен и удален из данных, остаточный ряд является стационарным стохастическим процессом.
Стационарное различие: средний тренд является стохастическим. Дифференцирование времена серии D приводит к стационарному стохастическому процессу.
Различие между детерминированным и стохастическим трендом имеет важные последствия для долгосрочного поведения процесса:
Временные ряды с детерминированным трендом всегда возвращаются к тренду в конечном счете (эффекты шоков в конечном счете устраняются). Предскажите, что интервалы имеют постоянную ширину.
Временные ряды со стохастическим трендом никогда не восстанавливаются от шоков до системы (эффекты шоков являются постоянными). Предскажите, что интервалы растут в зависимости от времени.
К сожалению, для любого конечного объема данных существует детерминированный и стохастический тренд, который соответствует данным одинаково хорошо (Гамильтон, 1994). Модульные корневые тесты являются инструментом для оценки присутствия стохастического тренда в наблюдаемом ряду.
Можно записать стационарный трендом процесс, yt, как
где:
детерминированный средний тренд.
стационарный стохастический процесс со средним нулем.
В некоторых приложениях тренд представляет главный интерес. Методы разложения временных рядов фокусируются на разложении в различные источники тренда (например, светский тренд и сезонный компонент компонента). Можно анализировать ряд непараметрическим образом с помощью фильтров (скользящие средние значения), или параметрически с помощью методов регрессии.
Учитывая оценку , можно исследовать остаточный ряд для автокорреляции, и опционально моделируют его с помощью стационарной модели стохастического процесса.
В подходе моделирования Поля-Jenkins [2], неустановившиеся временные ряды являются differenced, пока стационарность не достигается. Можно записать стационарный различием процесс, yt, как
где:
оператор дифференцирования th-степени D.
полином оператора задержки бесконечной степени с абсолютно суммируемыми коэффициентами и всеми корнями, лежащими вне модульного круга.
некоррелированый инновационный процесс со средним нулем.
Временные ряды, которые могут быть сделаны стационарными дифференцированием, называются интегрированными процессами. А именно, когда различия D требуются, чтобы делать ряд стационарным, тот ряд, как говорят, интегрирован порядка D, обозначил I (D). Процессы с D ≥ 1, как часто говорят, имеют модульный корень.
[1] Гамильтон, J. D. Анализ timeseries. Принстон, NJ: Издательство Принстонского университета, 1994.
[2] Поле, G. E. P. Г. М. Дженкинс и Г. К. Рейнсель. Анализ timeseries: Прогнозирование и Управление. 3-й редактор Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1994.
