Документация

Числовые корни

Функция roots вычисляет корни одно-переменного полинома, представленного вектором коэффициентов.

Например, создайте вектор, чтобы представлять полином $$x^2-x-6$$, затем вычислите корни.

p = [1 -1 -6];
r = roots(p)

r =

     3
    -2

Условно, MATLAB^® возвращает корни в вектор-столбце.

Функция poly преобразовывает корни назад в полиномиальные коэффициенты. При работе с векторами poly и roots являются обратными функциями, такими, что poly(roots(p)) возвращает p (до ошибки округления, упорядоченного расположения и масштабирования).

p2 = poly(r)

p2 =

     1    -1    -6

При работе с матрицей функция poly вычисляет характеристический полином матрицы. Корни характеристического полинома являются собственными значениями матрицы. Поэтому roots(poly(A)) и eig(A) дают тот же ответ (до ошибки округления, упорядоченного расположения и масштабирования).

Корни Используя замену

Можно решить полиномиальные уравнения, включающие тригонометрические функции путем упрощения уравнения с помощью замены. Получившийся полином одной переменной больше не содержит тригонометрических функций.

Например, найдите значения $$\theta$$ это решает уравнение

Используйте факт это $${\mathrm{потому\; что}}^2(\theta )=1-{\sin }^2(\theta )$$ выражать уравнение полностью с точки зрения синусоидальных функций:

Используйте замену $$x=\sin (\theta )$$ выражать уравнение как простое полиномиальное уравнение:

Создайте вектор, чтобы представлять полином.

p = [-3 -1 6];

Найдите корни полинома.

r = roots(p)

r = 2×1

   -1.5907
    1.2573

Чтобы отменить замену, использовать $$\theta ={\sin }^{-1}(x)$$. Функция asin вычисляет обратный синус.

theta = asin(r)

theta = 2×1 complex

  -1.5708 + 1.0395i
   1.5708 - 0.7028i

Проверьте, что элементы в theta являются значениями $$\theta$$ это решает исходное уравнение (в ошибке округления).

f = @(Z) 3*cos(Z).^2 - sin(Z) + 3;
f(theta)

ans = 2×1 complex
10-14 ×

  -0.0888 + 0.0647i
   0.2665 + 0.0399i

Корни в определенном интервале

Используйте функцию fzero, чтобы найти корни полинома в определенном интервале. Среди другого использования этот метод подходит, если вы строите полином и хотите знать значение конкретного корня.

Например, создайте указатель на функцию, чтобы представлять полином $$3x^7+4x^6+2x^5+4x^4+x^3+5x^2$$.

p = @(x) 3*x.^7 + 4*x.^6 + 2*x.^5 + 4*x.^4 + x.^3 + 5*x.^2;

Постройте функцию на интервале $$[-2,1]$$.

x = -2:0.1:1;
plot(x,p(x))
ylim([-100 50])
grid on
hold on

Из графика полином имеет тривиальный корень в 0 и другом около -1.5. Используйте fzero, чтобы вычислить и построить корень, который является около -1.5.

Z = fzero(p, -1.5)

Z = -1.6056

plot(Z,p(Z),'r*')

Символьные корни

Если у вас есть Symbolic Math Toolbox™, то существуют дополнительные опции для оценки полиномов символически. Один путь состоит в том, чтобы использовать функцию solve.

syms x
s = solve(x^2-x-6)

s =
 
 -2
  3

Иначе должен использовать функцию factor, чтобы учесть полиномиальные условия.

F = factor(x^2-x-6)

F =
 
[ x + 2, x - 3]

Смотрите Решают Алгебраическое уравнение (Symbolic Math Toolbox) для получения дополнительной информации.