Методы сопряженных градиентов придали методу квадратную форму
x = cgs(A,b)
cgs(A,b,tol)
cgs(A,b,tol,maxit)
cgs(A,b,tol,maxit,M)
cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2)
cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = cgs(A,b,...)
[x,flag,relres] = cgs(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = cgs(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b,...)
x = cgs(A,b)
попытки решить систему линейных уравнений A*x = b
для x
. n
-by-n
матрица коэффициентов A
должен быть квадратным и должен быть большим и разреженным. Вектор-столбец b
должен иметь длину n
. Можно задать A
как указатель на функцию, afun
, такой, что afun(x)
возвращает A*x
.
Параметризация Функций объясняет, как предоставить дополнительные параметры функциональному afun
, а также функцию перед формирователем mfun
, описанный ниже, при необходимости.
Если cgs
сходится, сообщение к тому эффекту отображено. Если cgs
не удается сходиться после максимального количества итераций или остановов по любой причине, предупреждающее сообщение распечатано, отобразив относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b)
и номер итерации в который метод, остановленный или не пройдено.
cgs(A,b,tol)
задает допуск метода, tol
. Если tol
является []
, то cgs
использует значение по умолчанию, 1e-6
.
cgs(A,b,tol,maxit)
задает максимальное количество итераций, maxit
. Если maxit
является []
затем, cgs
использует значение по умолчанию, min(n,20)
.
cgs(A,b,tol,maxit,M)
и cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2)
используйте предварительный формирователь M
или M = M1*M2
и эффективно решите систему inv(M)*A*x = inv(M)*b
для x
. Если M
является []
затем, cgs
не применяет предварительного формирователя. M
может быть указателем на функцию mfun
, таким образом, что mfun(x)
возвращает M\x
.
cgs(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
задает исходное предположение x0
. Если x0
является []
, то cgs
использует значение по умолчанию, все-нулевой вектор.
[x,flag] = cgs(A,b,...)
возвращает решение x
и флаг, который описывает сходимость cgs
.
Флаг | Сходимость |
---|---|
0 |
|
1 |
|
2 | Предварительный формирователь |
3 |
|
4 | Один из скаляров, вычисленных во время |
Каждый раз, когда flag
не является 0
, решение, возвращенный x
то, что с минимальной невязкой нормы, вычисленной по всем итерациям. Никакие сообщения не отображены, если flag
вывод задан.
[x,flag,relres] = cgs(A,b,...)
также возвращает относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b)
. Если flag
является 0
, то relres <= tol
.
[x,flag,relres,iter] = cgs(A,b,...)
также возвращает номер итерации, в котором x
был вычислен, где 0 <= iter <= maxit
.
[x,flag,relres,iter,resvec] = cgs(A,b,...)
также возвращает вектор норм невязки в каждой итерации, включая norm(b-A*x0)
.
A = gallery('wilk',21); b = sum(A,2); tol = 1e-12; maxit = 15; M1 = diag([10:-1:1 1 1:10]); x = cgs(A,b,tol,maxit,M1);
отображает сообщение
cgs converged at iteration 13 to a solution with relative residual 2.4e-016.
Этот пример заменяет матричный A
в предыдущем примере с указателем на функцию матричного векторного произведения afun
и предварительный формирователь M1
с указателем на функцию backsolve mfun
. Пример содержится в файле run_cgs
это
Вызовы cgs
с указателем на функцию @afun
в качестве его первого аргумента.
Содержит afun
как вложенную функцию, так, чтобы все переменные в run_cgs
были доступны afun
и myfun
.
Следующее показывает код для run_cgs
:
function x1 = run_cgs n = 21; b = afun(ones(n,1)); tol = 1e-12; maxit = 15; x1 = cgs(@afun,b,tol,maxit,@mfun); function y = afun(x) y = [0; x(1:n-1)] + ... [((n-1)/2:-1:0)'; (1:(n-1)/2)'].*x + ... [x(2:n); 0]; end function y = mfun(r) y = r ./ [((n-1)/2:-1:1)'; 1; (1:(n-1)/2)']; end end
Когда вы входите
x1 = run_cgs
MATLAB возвращается
cgs converged at iteration 13 to a solution with relative residual 2.4e-016.
Этот пример демонстрирует использование предварительного формирователя.
Загрузите west0479
, действительное 479 479 несимметричная разреженная матрица.
load west0479;
A = west0479;
Задайте b
так, чтобы истинное решение было вектором из всех единиц.
b = full(sum(A,2));
Установите допуск и максимальное количество итераций.
tol = 1e-12; maxit = 20;
Используйте cgs
, чтобы найти решение в требуемом допуске и количестве итераций.
[x0,fl0,rr0,it0,rv0] = cgs(A,b,tol,maxit);
fl0
равняется 1, потому что cgs
не сходится к требуемому допуску 1e-12
в требуемых 20 итерациях. На самом деле поведение cgs
так плохо, что исходное предположение (x0 = zeros(size(A,2),1)
является лучшим решением и возвращен, как обозначено it0 = 0
. MATLAB хранит остаточную историю в rv0
.
Постройте поведение cgs
.
semilogy(0:maxit,rv0/norm(b),'-o'); xlabel('Iteration number'); ylabel('Relative residual');
График показывает, что решение не сходится. Можно использовать предварительный формирователь, чтобы улучшить результат.
Создайте предварительный формирователь с ilu
, поскольку A
несимметричен.
[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-5));
Error using ilu There is a pivot equal to zero. Consider decreasing the drop tolerance or consider using the 'udiag' option.
MATLAB не может создать неполный LU, когда это привело бы к сингулярному фактору, который бесполезен как предварительный формирователь.
Можно попробовать еще раз с уменьшаемым допуском отбрасывания, как обозначено сообщением об ошибке.
[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-6)); [x1,fl1,rr1,it1,rv1] = cgs(A,b,tol,maxit,L,U);
fl1
0, потому что cgs
управляет относительной невязкой к 4.3851e-014
(значение rr1
). Относительная невязка является меньше, чем предписанный допуск 1e-12
в третьей итерации (значение it1
), когда предобусловленный неполной LU-факторизацией с допуском отбрасывания 1e-6
. Выводом rv1(1)
является norm(b)
, и выводом rv1(14)
является norm(b-A*x2)
.
Можно следовать, прогресс cgs
путем графического вывода относительных невязок в каждой итерации, начинающей с первоначальной оценки (выполните итерации номера 0).
semilogy(0:it1,rv1/norm(b),'-o'); xlabel('Iteration number'); ylabel('Relative residual');
[1] Барретт, R., М. Берри, Т. Ф. Чан, и др., Шаблоны для Решения Линейных систем: Стандартные блоки для Итерационных методов, SIAM, Филадельфия, 1994.
[2] Sonneveld, Питер, “CGS: быстрый решатель Lanczos-типа для несимметричных линейных систем”, SIAM J. Научный Закон Comput., январь 1989, Издание 10, № 1, стр 36–52.