pcg
Предобусловленный метод сопряженных градиентов
Синтаксис
x = pcg(A,b)
pcg(A,b,tol)
pcg(A,b,tol,maxit)
pcg(A,b,tol,maxit,M)
pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2)
pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = pcg(A,b,...)
[x,flag,relres] = pcg(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = pcg(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,...)
Описание
x = pcg(A,b) попытки решить систему линейных уравнений A*x=b для x. n-by-n матрица коэффициентов A должен быть симметричным и положительный определенный, и должен также быть большим и разреженным. Вектор-столбец b должен иметь длину n. Также можно задать A, чтобы быть указателем на функцию, afun, таким, что afun(x) возвращает A*x.
Параметризация Функций объясняет, как предоставить дополнительные параметры функциональному afun, а также функцию перед формирователем mfun, описанный ниже, при необходимости.
Если pcg сходится, сообщение к тому эффекту отображено. Если pcg не удается сходиться после максимального количества итераций или остановов по любой причине, предупреждающее сообщение распечатано, отобразив относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b) и номер итерации в который метод, остановленный или не пройдено.
pcg(A,b,tol) задает допуск метода. Если tol является [], то pcg использует значение по умолчанию, 1e-6.
pcg(A,b,tol,maxit) задает максимальное количество итераций. Если maxit является [], то pcg использует значение по умолчанию, min(n,20).
pcg(A,b,tol,maxit,M) и pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2) используйте симметричный положительный определенный предварительный формирователь M или M = M1*M2 и эффективно решите систему inv(M)*A*x = inv(M)*b для x. Если M является [] затем, pcg не применяет предварительного формирователя. M может быть указателем на функцию mfun, таким образом, что mfun(x) возвращает M\x.
pcg(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) задает исходное предположение. Если x0 является [], то pcg использует значение по умолчанию, все-нулевой вектор.
[x,flag] = pcg(A,b,...) также возвращает флаг сходимости.
Флаг | Сходимость |
|---|---|
0 |
|
1 |
|
2 | Предварительный формирователь |
3 |
|
4 | Один из скаляров, вычисленных во время |
Каждый раз, когда flag не является 0, решение, возвращенный x то, что с минимальной невязкой нормы, вычисленной по всем итерациям. Никакие сообщения не отображены, если flag вывод задан.
[x,flag,relres] = pcg(A,b,...) также возвращает относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b). Если flag является 0, relres <= tol.
[x,flag,relres,iter] = pcg(A,b,...) также возвращает номер итерации, в котором x был вычислен, где 0 <= iter <= maxit.
[x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,...) также возвращает вектор норм невязки в каждой итерации включая norm(b-A*x0).
Примеры
Используя pcg с Большими Матрицами
Этот пример показывает, как использовать pcg с матричным входом и с указателем на функцию.
n1 = 21;
A = gallery('moler',n1);
b1 = sum(A,2);
tol = 1e-6;
maxit = 15;
M1 = spdiags((1:n1)',0,n1,n1);
[x1,flag1,rr1,iter1,rv1] = pcg(A,b1,tol,maxit,M1);Также можно использовать следующую функцию вместо матричного A:
function y = applyMoler(x) y = x; y(end-1:-1:1) = y(end-1:-1:1) - cumsum(y(end:-1:2)); y(2:end) = y(2:end) - cumsum(y(1:end-1));
При помощи этой функции можно решить большие системы более эффективно, когда нет никакой потребности сохранить целый матричный A:
n2 = 21; b2 = applyMoler(ones(n2,1)); tol = 1e-6; maxit = 15; M2 = spdiags((1:n2)',0,n2,n2); [x2,flag2,rr2,iter2,rv2] = pcg(@applyMoler,b2,tol,maxit,M2);
Используя pcg с Предварительным формирователем
Этот пример демонстрирует, как использовать матрицу перед формирователем с pcg.
Создайте входную матрицу и попытайтесь решить систему с pcg.
A = delsq(numgrid('S',100));
b = ones(size(A,1),1);
[x0,fl0,rr0,it0,rv0] = pcg(A,b,1e-8,100);fl0 является 1, потому что pcg не сходится к требуемому допуску 1e-8 в требуемых максимальных 100 итерациях. Предварительный формирователь может заставить систему сходиться более быстро.
Используйте ichol только с одним входным параметром, чтобы создать неполную факторизацию Холесского с нулевой заливкой.
L = ichol(A); [x1,fl1,rr1,it1,rv1] = pcg(A,b,1e-8,100,L,L');
fl1 является 0, потому что pcg управляет относительной невязкой к 9.8e-09 (значение rr1), который является меньше, чем требуемый допуск 1e-8 в семьдесят седьмой итерации (значение it1), когда предобусловленный заполнением нулями неполной факторизации Холесского. rv1(1) = norm(b) и rv1(78) = norm(b-A*x1).
Предыдущая матрица представляет дискретизацию Лапласиана на 100x100 сетка с граничными условиями Дирихле. Это означает, что измененный неполный предварительный формирователь Холесского может выполнить еще лучше.
Используйте опцию michol, чтобы создать измененный неполный предварительный формирователь Холесского.
L = ichol(A,struct('michol','on')); [x2,fl2,rr2,it2,rv2] = pcg(A,b,1e-8,100,L,L');
В этом случае вы достигаете сходимости только в сорока семи итерациях.
Вы видите, как предварительные формирователи влияют на уровень сходимости pcg путем графического вывода каждой из остаточных историй, начинающих с первоначальной оценки (выполните итерации номера 0).
figure; semilogy(0:it0,rv0/norm(b),'b.'); hold on; semilogy(0:it1,rv1/norm(b),'r.'); semilogy(0:it2,rv2/norm(b),'k.'); legend('No Preconditioner','IC(0)','MIC(0)'); xlabel('iteration number'); ylabel('relative residual'); hold off;
Ссылки
[1] Барретт, R., М. Берри, Т. Ф. Чан, и др., Шаблоны для Решения Линейных систем: Стандартные блоки для Итерационных методов, SIAM, Филадельфия, 1994.