Метод квази-минимальных невязок
x = qmr(A,b)
qmr(A,b,tol)
qmr(A,b,tol,maxit)
qmr(A,b,tol,maxit,M)
qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2)
qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = qmr(A,b,...)
[x,flag,relres] = qmr(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = qmr(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = qmr(A,b,...)
x = qmr(A,b) попытки решить систему линейных уравнений A*x=b для x. n-by-n матрица коэффициентов A должен быть квадратным и должен быть большим и разреженным. Вектор-столбец b должен иметь длину n. Можно задать A как указатель на функцию, afun, такой, что afun(x,'notransp') возвращает A*x, и afun(x,'transp') возвращает A'*x.
Параметризация Функций объясняет, как предоставить дополнительные параметры функциональному afun, а также функцию перед формирователем mfun, описанный ниже, при необходимости.
Если qmr сходится, сообщение к тому эффекту отображено. Если qmr не удается сходиться после максимального количества итераций или остановов по любой причине, предупреждающее сообщение распечатано, отобразив относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b) и номер итерации в который метод, остановленный или не пройдено.
qmr(A,b,tol) задает допуск метода. Если tol является [], то qmr использует значение по умолчанию, 1e-6.
qmr(A,b,tol,maxit) задает максимальное количество итераций. Если maxit является [], то qmr использует значение по умолчанию, min(n,20).
qmr(A,b,tol,maxit,M) и qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2) используйте предварительные формирователи M или M = M1*M2 и эффективно решите систему inv(M)*A*x = inv(M)*b для x. Если M является [] затем, qmr не применяет предварительного формирователя. M может быть указателем на функцию mfun, таким образом, что mfun(x,'notransp') возвращает M\x, и mfun(x,'transp') возвращает M'\x.
qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) задает исходное предположение. Если x0 является [], то qmr использует значение по умолчанию, весь нулевой вектор.
[x,flag] = qmr(A,b,...) также возвращает флаг сходимости.
Флаг | Сходимость |
|---|---|
0 |
|
1 |
|
2 | Предварительный формирователь |
3 | Метод застоялся. (Два последовательных выполняют итерации, было то же самое.) |
4 | Один из скаляров, вычисленных во время |
Каждый раз, когда flag не является 0, решение, возвращенный x то, что с минимальной невязкой нормы, вычисленной по всем итерациям. Никакие сообщения не отображены, если flag вывод задан.
[x,flag,relres] = qmr(A,b,...) также возвращает относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b). Если flag является 0, relres <= tol.
[x,flag,relres,iter] = qmr(A,b,...) также возвращает номер итерации, в котором x был вычислен, где 0 <= iter <= maxit.
[x,flag,relres,iter,resvec] = qmr(A,b,...) также возвращает вектор норм невязки в каждой итерации, включая norm(b-A*x0).
Этот пример показывает, как использовать qmr с матричным входом. Код:
n = 100; on = ones(n,1); A = spdiags([-2*on 4*on -on],-1:1,n,n); b = sum(A,2); tol = 1e-8; maxit = 15; M1 = spdiags([on/(-2) on],-1:0,n,n); M2 = spdiags([4*on -on],0:1,n,n); x = qmr(A,b,tol,maxit,M1,M2);
отображения сообщение:
qmr converged at iteration 9 to a solution... with relative residual 5.6e-009
Этот пример заменяет матричный A в предыдущем примере с указателем на функцию матричного векторного произведения afun. Пример содержится в файле run_qmr это
Вызовы qmr с указателем на функцию @afun в качестве его первого аргумента.
Содержит afun как вложенную функцию, так, чтобы все переменные в run_qmr были доступны afun.
Следующее показывает код для run_qmr:
function x1 = run_qmr
n = 100;
on = ones(n,1);
A = spdiags([-2*on 4*on -on],-1:1,n,n);
b = sum(A,2);
tol = 1e-8;
maxit = 15;
M1 = spdiags([on/(-2) on],-1:0,n,n);
M2 = spdiags([4*on -on],0:1,n,n);
x1 = qmr(@afun,b,tol,maxit,M1,M2);
function y = afun(x,transp_flag)
if strcmp(transp_flag,'transp') % y = A'*x
y = 4 * x;
y(1:n-1) = y(1:n-1) - 2 * x(2:n);
y(2:n) = y(2:n) - x(1:n-1);
elseif strcmp(transp_flag,'notransp') % y = A*x
y = 4 * x;
y(2:n) = y(2:n) - 2 * x(1:n-1);
y(1:n-1) = y(1:n-1) - x(2:n);
end
end
endКогда вы входите
x1=run_qmr;
MATLAB отображает сообщение
qmr converged at iteration 9 to a solution with relative residual 5.6e-009
Этот пример демонстрирует использование предварительного формирователя.
Загрузите A = west0479, действительное 479 479 несимметричная разреженная матрица.
load west0479;
A = west0479;Задайте b так, чтобы истинное решение было вектором из всех единиц.
b = full(sum(A,2));
Установите допуск и максимальное количество итераций.
tol = 1e-12; maxit = 20;
Используйте qmr, чтобы найти решение в требуемом допуске и количестве итераций.
[x0,fl0,rr0,it0,rv0] = qmr(A,b,tol,maxit);
fl0 равняется 1, потому что qmr не сходится к требуемому допуску 1e-12 в требуемых 20 итерациях. Семнадцатые выполняют итерации, лучшее приближенное решение и тот, возвращенный, как обозначено it0 = 17. MATLAB хранит остаточную историю в rv0.
Постройте поведение qmr.
semilogy(0:maxit,rv0/norm(b),'-o'); xlabel('Iteration number'); ylabel('Relative residual');
График показывает, что решение не сходится. Можно использовать предварительный формирователь, чтобы улучшить результат.
Создайте предварительный формирователь с ilu, поскольку матричный A несимметричен.
[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-5));
Error using ilu There is a pivot equal to zero. Consider decreasing the drop tolerance or consider using the 'udiag' option.
MATLAB не может создать неполный LU, когда это привело бы к сингулярному фактору, который бесполезен как предварительный формирователь.
Можно попробовать еще раз с уменьшаемым допуском отбрасывания, как обозначено сообщением об ошибке.
[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-6)); [x1,fl1,rr1,it1,rv1] = qmr(A,b,tol,maxit,L,U);
fl1 0, потому что qmr управляет относительной невязкой к 4.1410e-014 (значение rr1). Относительная невязка является меньше, чем предписанный допуск 1e-12 в шестой итерации (значение it1), когда предобусловленный неполной LU-факторизацией с допуском отбрасывания 1e-6. Выводом rv1(1) является norm(b), и выводом rv1(7) является norm(b-A*x2).
Можно следовать, прогресс qmr путем графического вывода относительных невязок в каждой итерации, начинающей с первоначальной оценки (выполните итерации номера 0).
semilogy(0:it1,rv1/norm(b),'-o'); xlabel('Iteration number'); ylabel('Relative residual');
[1] Барретт, R., М. Берри, Т. Ф. Чан, и др., Шаблоны для Решения Линейных систем: Стандартные блоки для Итерационных методов, SIAM, Филадельфия, 1994.
[2] Freund, Роланд В. и Неель М. Нэчтигэл, “QMR: метод квази-минимальных невязок для неэрмитовых линейных систем”, SIAM Journal: Numer. Математика. 60, 1991, стр 315–339.