Метод минимальных невязок
x = minres(A,b)
minres(A,b,tol)
minres(A,b,tol,maxit)
minres(A,b,tol,maxit,M)
minres(A,b,tol,maxit,M1,M2)
minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = minres(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg]
= minres(A,b,...)
x = minres(A,b) попытки найти минимальное решение для невязки нормы x к системе линейных уравнений A*x=b. n-by-n матрица коэффициентов A должен быть симметричным, но не должен быть положителен определенный. Это должно быть большим и разреженным. Вектор-столбец b должен иметь длину n. Можно задать A как указатель на функцию, afun, такой, что afun(x) возвращает A*x.
Параметризация Функций объясняет, как предоставить дополнительные параметры функциональному afun, а также функцию перед формирователем mfun, описанный ниже, при необходимости.
Если minres сходится, сообщение к тому эффекту отображено. Если minres не удается сходиться после максимального количества итераций или остановов по любой причине, предупреждающее сообщение распечатано, отобразив относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b) и номер итерации в который метод, остановленный или не пройдено.
minres(A,b,tol) задает допуск метода. Если tol является [], то minres использует значение по умолчанию, 1e-6.
minres(A,b,tol,maxit) задает максимальное количество итераций. Если maxit является [], то minres использует значение по умолчанию, min(n,20).
minres(A,b,tol,maxit,M) и minres(A,b,tol,maxit,M1,M2) используйте симметричный положительный определенный предварительный формирователь M или M = M1*M2 и эффективно решите систему inv(sqrt(M))*A*inv(sqrt(M))*y = inv(sqrt(M))*b для y и затем возвратите x = inv(sqrt(M))*y. Если M является [] затем, minres не применяет предварительного формирователя. M может быть указателем на функцию mfun, такой, что mfun(x) возвращает M\x.
minres(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) задает исходное предположение. Если x0 является [], то minres использует значение по умолчанию, все-нулевой вектор.
[x,flag] = minres(A,b,...) также возвращает флаг сходимости.
Флаг | Сходимость |
|---|---|
0 |
|
1 |
|
2 | Предварительный формирователь |
3 |
|
4 | Один из скаляров, вычисленных во время |
Каждый раз, когда flag не является 0, решение, возвращенный x то, что с минимальной невязкой нормы, вычисленной по всем итерациям. Никакие сообщения не отображены, если flag вывод задан.
[x,flag,relres] = minres(A,b,...) также возвращает относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b). Если flag является 0, relres <= tol.
[x,flag,relres,iter] = minres(A,b,...) также возвращает номер итерации, в котором x был вычислен, где 0 <= iter <= maxit.
[x,flag,relres,iter,resvec] = minres(A,b,...) также возвращает вектор оценок норм невязки minres в каждой итерации, включая norm(b-A*x0).
[x,flag,relres,iter,resvec,resveccg]
= minres(A,b,...) также возвращает вектор оценок норм невязки Методов сопряженных градиентов в каждой итерации.
n = 100; on = ones(n,1); A = spdiags([-2*on 4*on -2*on],-1:1,n,n); b = sum(A,2); tol = 1e-10; maxit = 50; M1 = spdiags(4*on,0,n,n); x = minres(A,b,tol,maxit,M1); minres converged at iteration 49 to a solution with relative residual 4.7e-014
Этот пример заменяет матричный A в предыдущем примере с указателем на функцию матричного векторного произведения afun. Пример содержится в файле run_minres это
Вызовы minres с указателем на функцию @afun в качестве его первого аргумента.
Содержит afun как вложенную функцию, так, чтобы все переменные в run_minres были доступны afun.
Следующее показывает код для run_minres:
function x1 = run_minres
n = 100;
on = ones(n,1);
A = spdiags([-2*on 4*on -2*on],-1:1,n,n);
b = sum(A,2);
tol = 1e-10;
maxit = 50;
M = spdiags(4*on,0,n,n);
x1 = minres(@afun,b,tol,maxit,M);
function y = afun(x)
y = 4 * x;
y(2:n) = y(2:n) - 2 * x(1:n-1);
y(1:n-1) = y(1:n-1) - 2 * x(2:n);
end
endКогда вы входите
x1=run_minres;
MATLAB отображает сообщение
minres converged at iteration 49 to a solution with relative residual 4.7e-014
Используйте симметричную неопределенную матрицу, которая перестала работать с pcg.
A = diag([20:-1:1, -1:-1:-20]); b = sum(A,2); % The true solution is the vector of all ones. x = pcg(A,b); % Errors out at the first iteration.
отображения следующее сообщение:
pcg stopped at iteration 1 without converging to the desired tolerance 1e-006 because a scalar quantity became too small or too large to continue computing. The iterate returned (number 0) has relative residual 1
Однако minres может обработать неопределенный матричный A.
x = minres(A,b,1e-6,40); minres converged at iteration 39 to a solution with relative residual 1.3e-007
[1] Барретт, R., М. Берри, Т. Ф. Чан, и др., Шаблоны для Решения Линейных систем: Стандартные блоки для Итерационных методов, SIAM, Филадельфия, 1994.
[2] Пэйдж, C. C. и М. А. Сондерс, “Решение Разреженных Неопределенных Систем Линейных уравнений”. SIAM J. Numer. Анальный., Vol.12, 1975, стр 617-629.