Exponenta Banner
exponenta event banner

polyeig

Полиномиальная задача о собственных значениях

свернуть все на странице

Синтаксис

e = polyeig(A0,A1,...,Ap)
[X,e] = polyeig(A0,A1,...,Ap)
[X,e,s] = polyeig(A0,A1,...,Ap)

Описание

пример

e = polyeig(A0,A1,...,Ap) возвращает собственные значения для полиномиальной задачи о собственных значениях степени p.

пример

[X,e] = polyeig(A0,A1,...,Ap) также возвращает матричный X, размера n-by-n*p, чьи столбцы являются собственными векторами.

пример

[X,e,s] = polyeig(A0,A1,...,Ap) дополнительно возвращает векторный s, длины p*n, содержа числа условия для собственных значений. По крайней мере один из A0 и Ap должен быть несингулярным. Большие числа условия подразумевают, что проблема близко к проблеме с повторными собственными значениями.

Примеры

свернуть все

Скрипт Open Live Script

Решите квадратичную задачу о собственных значениях, включающую большую матрицу M, ослабив матричный C и матрицу жесткости K. Эта квадратичная задача о собственных значениях является результатом уравнения движения:

Md2ydt2+Cdydt+Ky=f(t)

Это уравнение применяется к широкому диапазону колеблющихся систем, включая динамическую массово-пружинную систему или электронную сеть RLC. Основное решение y(t)=xeλt, так оба λ и x должен решить квадратичную задачу о собственных значениях (QEP),

(Mλ2+Cλ+K)x=0

Создайте содействующие матрицы M, C и K, чтобы представлять массово-пружинную систему с четырьмя степенями свободы. Содействующие матрицы все симметричны и положительные полуопределенный, и M является диагональной матрицей.

M = diag([3 1 3 1])
M = 4×4

     3     0     0     0
     0     1     0     0
     0     0     3     0
     0     0     0     1


C = [0.4 0 -0.3 0; 0 0 0 0; -0.3 0 0.5 -0.2; 0 0 -0.2 0.2]
C = 4×4

    0.4000         0   -0.3000         0
         0         0         0         0
   -0.3000         0    0.5000   -0.2000
         0         0   -0.2000    0.2000


K = [-7 2 4  0; 2 -4 2 0; 4 2 -9 3; 0 0 3 -3]
K = 4×4

    -7     2     4     0
     2    -4     2     0
     4     2    -9     3
     0     0     3    -3

Решите QEP для собственных значений, собственных векторов и чисел условия с помощью polyeig. 

[X,e,s] = polyeig(K,C,M)
X = 4×8

    0.1828    0.3421    0.3989    0.0621    0.3890   -0.4143   -0.4575    0.4563
    0.3530   -0.9296    0.3330   -0.8571   -0.6366   -0.2717   -0.4981    0.4985
   -0.5360   -0.0456   -0.1724    0.3509   -0.3423    0.1666   -0.5106    0.5107
    0.7448    0.1295   -0.8368   -0.3720    0.5712    0.8525   -0.5309    0.5315


e = 8×1

   -2.4498
   -2.1536
   -1.6248
    2.2279
    2.0364
    1.4752
    0.3353
   -0.3466


s = 8×1

    0.5813
    0.8609
    1.2232
    0.7855
    0.7012
    1.2922
   10.1097
   10.0519

Проверяйте, что первое собственное значение, e(1), и первый собственный вектор, X(:,1), удовлетворяет уравнению QEP. Результат близко к, но не точно, нуль.

lambda = e(1);
x = X(:,1);
(M*lambda^2 + C*lambda + K)*x
ans = 4×1
10-13 ×

   -0.0133
   -0.0466
    0.1465
   -0.0622

Входные параметры

свернуть все

Квадратные содействующие матрицы, заданные в качестве отдельных аргументов. Матрицы должны все иметь тот же порядок, n.

Типы данных: single | double
Поддержка комплексного числа: Да

Выходные аргументы

свернуть все

Собственные значения, возвращенные как вектор.

Собственные вектора, возвращенные в столбцах матрицы. Первым собственным вектором является X(:,1), вторым является X(:,2) и так далее.

Числа условия, возвращенные как вектор. Числа условия в s соответствуют столь же расположенным собственным значениям в e. Большие числа условия указывают, что проблема близко к тому, что повторила собственные значения.

Больше о

свернуть все

Полиномиальная задача о собственных значениях

Полиномиальная задача о собственных значениях является вариантом стандартной задачи о собственных значениях, A x = λx, но вместо этого включает полиномы, а не линейные члены.

Как со стандартной задачей о собственных значениях, решение включает нахождение собственных значений и собственных векторов, которые удовлетворяют уравнению,

(A0+λA1+…+λPAp)x=0 ,

где полиномиальная степень, p, является неотрицательным целым числом, и A0,A1,...Ap является квадратными содействующими матрицами порядка n.

Наиболее распространенная форма является квадратичной полиномиальной задачей о собственных значениях, которая является

(A2λ2+A1λ+A0)x=0 .

Одно существенное различие между квадратичной задачей о собственных значениях и стандартом (или обобщенный) задача о собственных значениях - то, что может быть до собственных значений 2n с до 2n правые и левые собственные вектора. В случаях, где существуют больше, чем собственные вектора n, собственные вектора не формируют линейно независимый набор. См. [1] и [2] для более подробной информации о квадратичной задаче о собственных значениях.

Советы

  • polyeig обрабатывает следующие упрощенные случаи:

    • p = 0 или polyeig(A), является стандартной задачей о собственных значениях, eig(A).

    • p = 1 или polyeig(A,B), является обобщенной задачей о собственных значениях, eig(A,-B).

    • n = 0 или polyeig(a0,a1,...,ap), является стандартной полиномиальной проблемой, roots([ap ... a1 a0]), где a0,a1,...,ap является скалярами.

Алгоритмы

Функция polyeig использует QZ-разложение, чтобы найти промежуточные результаты в вычислении обобщенных собственных значений. polyeig использует промежуточные результаты определить, хорошо ли собственные значения определяются. См. описания eig и qz для получения дополнительной информации.

Вычисленные решения не могут существовать или быть уникальными, и могут также быть в вычислительном отношении неточными. Если и A0 и Ap являются сингулярными матрицами, то проблема может быть плохо изложена. Если только один из A0 и Ap сингулярен, то некоторыми собственными значениями может быть 0 или Inf.

Масштабирование A0,A1,...,Ap, чтобы иметь norm(Ai) примерно равняется 1, может увеличить точность polyeig. В целом, однако, эта улучшенная точность не достижима. (См. Tisseur [3] для деталей).

Ссылки

[1] Dedieu, Жан-Пьер и Франсуаз Тиссер. “Теория возмущения для гомогенных полиномиальных задач о собственных значениях”. Линейная алгебра Прикладное Издание 358, 2003, стр 71–94.

[2] Tisseur, Франсуаз и Карл Мирберджен. “Квадратичная задача о собственных значениях”. Версия SIAM. Издание 43, Номер 2, 2001, стр 235–286.

[3] Франсуаз Тиссер. “Обратная ошибка и условие полиномиальных задач о собственных значениях”. Линейная алгебра Прикладное Издание 309, 2000, стр 339–361.

Расширенные возможности

Смотрите также

| | |

Темы

Представлено до R2006a

Документация MATLAB
Поддержка