Документация

u = hyperbolic(u0,ut0,tlist,model,c,a,f,d) производит решение формулировки FEM скалярной проблемы УЧП

$d \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

на 2D или 3-D области Ω, или системная проблема УЧП

$d \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

с геометрией, mesh и граничными условиями, заданными в model, с начальным значением u0 и начальная производная относительно времени ut0. Переменные c, a, f и d в уравнении соответствуют функциональным коэффициентам c, a, f и d соответственно.

u = hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d) решает проблему с помощью граничных условий b и mesh конечного элемента, заданная в [p,e,t].

u = hyperbolic(u0,ut0,tlist,Kc,Fc,B,ud,M) решает проблему на основе матриц конечного элемента, которые кодируют уравнение, mesh и граничные условия.

u = hyperbolic(___,rtol) и u = hyperbolic(___,rtol,atol) измените процесс решения путем передачи решателю ОДУ относительного допуска rtol, и опционально абсолютный допуск atol.

u = hyperbolic(u0,ut0,tlist,Kc,Fc,B,ud,M,___,'DampingMatrix',D) изменяет проблему включать ослабляющий матричный D.

u = hyperbolic(___,'Stats','off') выключает отображение внутренней статистики решателя ОДУ во время процесса решения.

Примеры

Гиперболическое уравнение

Решите уравнение волны

$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = Δ u$

на квадратной области, заданной squareg.

Создайте модель PDE и импортируйте геометрию.

model = createpde;
geometryFromEdges(model,@squareg);
pdegplot(model,'EdgeLabels','on')
ylim([-1.1,1.1])
axis equal

Установите граничные условия Дирихле $u = 0$ для $x = \pm 1$ , и Неймановы граничные условия

$\nabla u \cdot n = 0$

для $y = \pm 1$ . (Нейманово граничное условие является условием по умолчанию, таким образом, вторая спецификация избыточна.)

applyBoundaryCondition(model,'dirichlet','Edge',[2,4],'u',0);
applyBoundaryCondition(model,'neumann','Edge',[1,3],'g',0);

Установите начальные условия

u0 = 'atan(cos(pi/2*x))';
ut0 = '3*sin(pi*x).*exp(cos(pi*y))';

Установите времена решения.

tlist = linspace(0,5,31);

Дайте коэффициенты для проблемы.

c = 1;
a = 0;
f = 0;
d = 1;

Сгенерируйте mesh и решите УЧП.

generateMesh(model,'GeometricOrder','linear','Hmax',0.1);
u1 = hyperbolic(u0,ut0,tlist,model,c,a,f,d);

462 successful steps
51 failed attempts
1028 function evaluations
1 partial derivatives
135 LU decompositions
1027 solutions of linear systems

Постройте решение в первые и последние времена.

figure
pdeplot(model,'XYData',u1(:,1))

figure
pdeplot(model,'XYData',u1(:,end))

Для версии этого примера с анимацией смотрите уравнение Волны на Квадратной Области.

Гиперболическое уравнение с помощью Традиционного синтаксиса

Решите уравнение волны

$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = Δ u$

на квадратной области, заданной squareg, с помощью функции геометрии, чтобы задать геометрию, граничная функция, чтобы задать граничные условия, и с помощью initmesh, чтобы создать mesh конечного элемента.

Задайте геометрию как @squareg и постройте геометрию.

g = @squareg;
pdegplot(g,'EdgeLabels','on')
ylim([-1.1,1.1])
axis equal

Установите граничные условия Дирихле $u = 0$ для $x = \pm 1$ , и Неймановы граничные условия

$\nabla u \cdot n = 0$

Функция squareb3 задает эти граничные условия.

b = @squareb3;

Установите начальные условия

u0 = 'atan(cos(pi/2*x))';
ut0 = '3*sin(pi*x).*exp(cos(pi*y))';

Установите времена решения.

tlist = linspace(0,5,31);

Дайте коэффициенты для проблемы.

c = 1;
a = 0;
f = 0;
d = 1;

Создайте mesh и решите УЧП.

[p,e,t] = initmesh(g);
u = hyperbolic(u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d);

462 successful steps
70 failed attempts
1066 function evaluations
1 partial derivatives
156 LU decompositions
1065 solutions of linear systems

Постройте решение в первые и последние времена.

figure
pdeplot(p,e,t,'XYData',u(:,1))

figure
pdeplot(p,e,t,'XYData',u(:,end))

Для версии этого примера с анимацией смотрите уравнение Волны на Квадратной Области.

Гиперболическое решение Используя матрицы конечного элемента

Решите гиперболическую проблему с помощью матриц конечного элемента.

Создайте модель и импортируйте геометрию BracketWithHole.stl.

model = createpde();
importGeometry(model,'BracketWithHole.stl');
figure
pdegplot(model,'FaceLabels','on')
view(30,30)
title('Bracket with Face Labels')

figure
pdegplot(model,'FaceLabels','on')
view(-134,-32)
title('Bracket with Face Labels, Rear View')

Установите коэффициенты c = 1, a = 0, f = 0.5 и d = 1.

c = 1;
a = 0;
f = 0.5;
d = 1;

Сгенерируйте mesh для модели.

generateMesh(model);

Создайте начальные условия и граничные условия. Граничным условием для задней поверхности является Дирихле со значением 0. Все другие поверхности имеют граничное условие по умолчанию. Начальным условием является u(0) = 0, du/dt(0) = x/2. Дайте начальное условие на производной путем вычисления x, позиционного из каждого узла в xpts и передачи x/2.

applyBoundaryCondition(model,'Face',4,'u',0);
u0 = 0;
xpts = model.Mesh.Nodes(1,:);
ut0 = xpts(:)/2;

Создайте связанные матрицы конечного элемента.

[Kc,Fc,B,ud] = assempde(model,c,a,f);
[~,M,~] = assema(model,0,d,f);

Решите УЧП в течение многих времен от 0 до 2.

tlist = linspace(0,5,50);
u = hyperbolic(u0,ut0,tlist,Kc,Fc,B,ud,M);

1493 successful steps
70 failed attempts
2956 function evaluations
1 partial derivatives
276 LU decompositions
2955 solutions of linear systems

Просмотрите решение в несколько раз. Масштабируйте все графики иметь тот же цветовой диапазон при помощи команды caxis.

umax = max(max(u));
umin = min(min(u));

subplot(2,2,1)
pdeplot3D(model,'ColorMapData',u(:,5))
caxis([umin umax])
title('Time 1/2')
subplot(2,2,2)
pdeplot3D(model,'ColorMapData',u(:,10))
caxis([umin umax])
title('Time 1')
subplot(2,2,3)
pdeplot3D(model,'ColorMapData',u(:,15))
caxis([umin umax])
title('Time 3/2')
subplot(2,2,4)
pdeplot3D(model,'ColorMapData',u(:,20))
caxis([umin umax])
title('Time 2')

Решение, кажется, имеет частоту одной, потому что графики время от времени 1/2 и 3/2 показывают максимальные значения, и те время от времени 1 и 2 показывают минимальные значения.

Гиперболическое уравнение с затуханием

Решите гиперболическую проблему, которая включает затухание. Необходимо использовать матричную форму конечного элемента, чтобы использовать затухание.

Создайте модель и импортируйте геометрию BracketWithHole.stl.

model = createpde();
importGeometry(model,'BracketWithHole.stl');
figure
pdegplot(model,'FaceLabels','on')
view(30,30)
title('Bracket with Face Labels')

figure
pdegplot(model,'FaceLabels','on')
view(-134,-32)
title('Bracket with Face Labels, Rear View')

Установите коэффициенты c = 1, a = 0, f = 0.5 и d = 1.

c = 1;
a = 0;
f = 0.5;
d = 1;

Сгенерируйте mesh для модели.

generateMesh(model);

applyBoundaryCondition(model,'Face',4,'u',0);
u0 = 0;
xpts = model.Mesh.Nodes(1,:);
ut0 = xpts(:)/2;

Создайте связанные матрицы конечного элемента.

[Kc,Fc,B,ud] = assempde(model,c,a,f);
[~,M,~] = assema(model,0,d,f);

Используйте матрицу затухания, которая составляет 10% большой матрицы.

Damping = 0.1*M;

Решите УЧП в течение многих времен от 0 до 2.

tlist = linspace(0,5,50);
u = hyperbolic(u0,ut0,tlist,Kc,Fc,B,ud,M,'DampingMatrix',Damping);

1441 successful steps
70 failed attempts
2839 function evaluations
1 partial derivatives
288 LU decompositions
2838 solutions of linear systems

Постройте максимальное значение каждый раз. Ослабление колебаний немного как время увеличивается.

plot(max(u))
xlabel('Time')
ylabel('Maximum value')
title('Maximum of Solution')

Входные параметры

`u0` — Начальное условие
вектор | вектор символов | символьный массив | представляет скаляр в виде строки | вектор строки

Начальное условие, заданное как скаляр, вектор узловых значений, вектора символов, символьного массива, представляет в виде строки скаляр или вектор строки. Начальное условие является значением решения u в начальное время, заданное как вектор-столбец значений в узлах. Узлы являются или p в структуре данных [p,e,t] или являются model.Mesh.Nodes. Для получения дополнительной информации смотрите, Решают УЧП с Начальными условиями.

Если начальным условием является постоянный скалярный v, задайте u0 как v.
Если существуют узлы Np в mesh и уравнения N в системе УЧП, задают u0 как вектор-столбец Np *N элементы, где первые элементы Np соответствуют первому компоненту решения u, вторые элементы Np соответствуют второму компоненту решения u и т.д.
Дайте текстовое выражение функции, такой как 'x.^2 + 5*cos(x.*y)'. Если вы имеете систему N > 1 уравнение, даете текстовый массив такой как
```
char('x.^2 + 5*cos(x.*y)',...
    'tanh(x.*y)./(1+z.^2)')
```

Пример: x.^2+5*cos(y.*x)

Типы данных: double | char | string
Поддержка комплексного числа: Да

`ut0` — Начальная производная
вектор | вектор символов | символьный массив | представляет скаляр в виде строки | вектор строки

Начальная производная, заданная как вектор, вектор символов, символьный массив, представляет в виде строки скаляр или вектор строки. Начальный градиент является значением производной решения u в начальное время, заданное как вектор значений в узлах. Узлы являются или p в структуре данных [p,e,t] или являются model.Mesh.Nodes. Смотрите Решают УЧП с Начальными условиями.

Если начальная производная является постоянным значением v, задайте u0 как v.
Если существуют узлы Np в mesh и уравнения N в системе УЧП, задают ut0 как вектор Np *N элементы, где первые элементы Np соответствуют первому компоненту решения u, вторые элементы Np соответствуют второму компоненту решения u и т.д.
Дайте текстовое выражение функции, такой как 'x.^2 + 5*cos(x.*y)'. Если у вас есть система N > 1 уравнение, используйте текстовый массив такой как
```
char('x.^2 + 5*cos(x.*y)',...
    'tanh(x.*y)./(1+z.^2)')
```

Для получения дополнительной информации смотрите, Решают УЧП с Начальными условиями.

Пример: p(1,:).^2+5*cos(p(2,:).*p(1,:))

Типы данных: double | char | string
Поддержка комплексного числа: Да

`tlist` — Времена решения
вектор действительных чисел

Времена решения, заданные как вектор действительных чисел. Решатель возвращает решение УЧП во времена решения.

Пример: 0:0.2:4

Типы данных: double

Модель `model` — PDE
Объект `PDEModel`

Модель PDE, заданная как объект PDEModel.

Пример: model = createpde

`c` Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | представляет скаляр в виде строки | вектор строки | коэффициентная функция

Коэффициент УЧП, заданный как скаляр, матрица, вектор символов, символьный массив, представляет в виде строки скаляр, вектор строки или коэффициентную функцию. c представляет коэффициент c в скалярном УЧП

$d \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

или в системе УЧП

$d \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

Вы можете specifyc в различных способах, детализированных в c Коэффициенте для Систем. См. также Задают Скалярные Коэффициенты УЧП в символьной Форме, Задают 2D Скалярные Коэффициенты в Функциональной Форме и Задают 3-D Коэффициенты УЧП в Функциональной Форме.

Пример: 'cosh(x+y.^2)'

Типы данных: double | char | string | function_handle
Поддержка комплексного числа: Да

`a` Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | представляет скаляр в виде строки | вектор строки | коэффициентная функция

Коэффициент УЧП, заданный как скаляр, матрица, вектор символов, символьный массив, представляет в виде строки скаляр, вектор строки или коэффициентную функцию. a представляет коэффициент a в скалярном УЧП

$d \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

или в системе УЧП

$d \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

Существует большое разнообразие способов задать a, детализированный в a или d Коэффициенте для Систем. См. также Задают Скалярные Коэффициенты УЧП в символьной Форме, Задают 2D Скалярные Коэффициенты в Функциональной Форме и Задают 3-D Коэффициенты УЧП в Функциональной Форме.

Пример: 2*eye(3)

Типы данных: double | char | string | function_handle
Поддержка комплексного числа: Да

`f` Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | представляет скаляр в виде строки | вектор строки | коэффициентная функция

Коэффициент УЧП, заданный как скаляр, матрица, вектор символов, символьный массив, представляет в виде строки скаляр, вектор строки или коэффициентную функцию. f представляет коэффициент f в скалярном УЧП

$d \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

или в системе УЧП

$d \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

Вы можете specifyf в различных способах, детализированных в f Коэффициенте для Систем. См. также Задают Скалярные Коэффициенты УЧП в символьной Форме, Задают 2D Скалярные Коэффициенты в Функциональной Форме и Задают 3-D Коэффициенты УЧП в Функциональной Форме.

Пример: char('sin(x)';'cos(y)';'tan(z)')

Типы данных: double | char | string | function_handle
Поддержка комплексного числа: Да

`d` Коэффициент УЧП
скаляр | матрица | вектор символов | символьный массив | представляет скаляр в виде строки | вектор строки | коэффициентная функция

Коэффициент УЧП, заданный как скаляр, матрица, вектор символов, символьный массив, представляет в виде строки скаляр, вектор строки или коэффициентную функцию. d представляет коэффициент d в скалярном УЧП

$d \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \nabla u) + a u = f$

или в системе УЧП

$d \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} - \nabla \cdot (c \otimes \nabla u) + a u = f$

Вы можете specifyd в различных способах, детализированных в a или d Коэффициенте для Систем. См. также Задают Скалярные Коэффициенты УЧП в символьной Форме, Задают 2D Скалярные Коэффициенты в Функциональной Форме и Задают 3-D Коэффициенты УЧП в Функциональной Форме.

Пример: 2*eye(3)

Типы данных: double | char | string | function_handle
Поддержка комплексного числа: Да

`b` Граничные условия
граничная матрица | массив данных граничных условий

Граничные условия, заданные как граничная матрица или массив данных граничных условий. Передайте массив данных граничных условий как указатель на функцию или как имя файла.

Граничная матрица обычно является экспортом из приложения PDE Modeler. Для получения дополнительной информации структуры этой матрицы, смотрите Граничную матрицу для 2D Геометрии.
Массив данных граничных условий является файлом, который вы записываете в синтаксисе, заданном в Граничных условиях путем Записи Функций.

Пример: b = 'circleb1', b = "circleb1" или b = @circleb1

Типы данных: double | char | string | function_handle

`p` Поймайте в сети точки
матрица

Поймайте в сети точки, заданные как 2 Np матрицей точек, где Np является числом точек в mesh. Для описания (p, e, t) матрицы, смотрите Данные о Mesh.

Как правило, вы используете p, e и данные t, экспортированные из приложения PDE Modeler или сгенерированные initmesh или refinemesh.

Пример: [p,e,t] = initmesh(gd)

Типы данных: double

`e` Поймайте в сети ребра
матрица

Поймайте в сети ребра, заданные как 7-by-Ne матрица ребер, где Ne является количеством ребер в mesh. Для описания (p, e, t) матрицы, смотрите Данные о Mesh.

Пример: [p,e,t] = initmesh(gd)

Типы данных: double

`t` Поймайте в сети треугольники
матрица

Поймайте в сети треугольники, заданные как 4-by-Nt матрица треугольников, где Nt является количеством треугольников в mesh. Для описания (p, e, t) матрицы, смотрите Данные о Mesh.

Пример: [p,e,t] = initmesh(gd)

Типы данных: double

`Kc` — Матрица жесткости
разреженная матрица | полная матрица

Матрица жесткости, заданная как разреженная матрица или как полная матрица. Смотрите Эллиптические уравнения. Как правило, Kc является вывод assempde.

`ФК` Вектор загрузки
вектор

Вектор загрузки, заданный как вектор. Смотрите Эллиптические уравнения. Как правило, Fc является вывод assempde.

`B` Дирихле nullspace
разреженная матрица

Дирихле nullspace, возвращенный как разреженная матрица. См. Алгоритмы. Как правило, B является вывод assempde.

`ud` — Вектор Дирихле
вектор

Вектор Дирихле, возвращенный как вектор. См. Алгоритмы. Как правило, ud является вывод assempde.

`M` Большая матрица
разреженная матрица | полная матрица

Большая матрица. заданный как разреженная матрица или полная матрица. Смотрите Эллиптические уравнения.

Получить входные матрицы для pdeeig, hyperbolic или parabolic, выполнения и assema и assempde:

[Kc,Fc,B,ud] = assempde(model,c,a,f);
[~,M,~] = assema(model,0,d,f);

Примечание

Создайте матрицу M использование assema с d, не a, в качестве аргумента перед f.

Типы данных: double
Поддержка комплексного числа: Да

`rtol` — Относительный допуск к решателю ОДУ
`1e-3` (значение по умолчанию) | положительный действительный

Относительный допуск к решателю ОДУ, заданному как положительное действительное.

Пример: 2e-4

Типы данных: double

`atol` — Абсолютный допуск к решателю ОДУ
`1e-6` (значение по умолчанию) | положительный действительный

Абсолютный допуск к решателю ОДУ, заданному как положительное действительное.

Пример: 2e-7

Типы данных: double

`D` Затухание матрицы
матрица

Затухание матрицы, заданной как матрица. D имеет тот же размер как матрица жесткости Kc или большая матрица M. Когда вы включаете D, hyperbolic решает следующий ОДУ для переменной v:

$B^{T} M B \frac{d^{2} v}{d t^{2}} + B^{T} D B \frac{d v}{d t} + K v = F$

с начальным условием u0 и начальным производным ut0. Затем hyperbolic возвращает решение u = B*v + ud.

Для примера с помощью D смотрите Динамику Ослабленного Консольного Луча.

Пример: alpha*M + beta*K

Типы данных: double
Поддержка комплексного числа: Да

Выходные аргументы

`u` Решение для УЧП
матрица

Решение для УЧП, возвращенное как матрица. Матрицей является Np *N-by-T, где Np является количеством узлов в mesh, N является количеством уравнений в УЧП (N = 1 для скалярного УЧП), и T является номером времен решения, означая длину tlist. Матрица решения имеет следующую структуру.

Первые элементы Np каждого столбца в u представляют решение уравнения 1, затем следующие элементы Np представляют решение уравнения 2 и т.д. Решение u является значением в соответствующем узле в mesh.
Столбец i u представляет решение во время tlist (i).

Чтобы получить решение в произвольной точке в геометрии, используйте pdeInterpolant.

Чтобы построить решение, используйте pdeplot для 2D геометрии или см. График 3-D Решения и Их Градиенты.

Алгоритмы