Линеаризация механических моделей

Предупреждение

Это содержимое характерно для программного обеспечения Simscape™ Multibody™ First Generation. Функции первого поколения намечают, чтобы быть удержанными от использования и нужно избежать.

О линеаризации и программном обеспечении Simscape Multibody

Команда Simulink^® linmod создает модели в пространстве состояний линейного независимого от времени (LTI) из моделей Simulink. Это линеаризует каждый блок отдельно. Можно использовать эту команду, чтобы сгенерировать модель в пространстве состояний LTI из модели Simscape Multibody, например, служить входом к командам Control System Toolbox, которые генерируют модели контроллеров. Команда linmod позволяет вам задавать точку в пространстве состояний, о котором это линеаризует модель (рабочая точка). Необходимо выбрать точку, где модель находится в равновесии, т.е. где сетевая сила на модели является нулем. Можно использовать команду trim Simulink, чтобы найти подходящую рабочую точку (см. Обрезающие Механические Модели). По умолчанию linmod использует адаптивный метод возмущения, чтобы линеаризовать модель. Диалоговое окно Среды Машины позволяет вам требовать, чтобы linmod использовал фиксированный метод возмущения вместо этого (см. Выбор Analysis Mode). Примеры затем следующее иллюстрируют использование linmod, чтобы линеаризовать модели Simscape Multibody.

Консультируйтесь с документацией Simulink для больше на линеаризации моделей (Simulink). Можно также ввести help linmod в командной строке MATLAB^®.

Ограничения на линеаризацию механических моделей

Существуют ограничения на то, как вы линеаризуете механические модели.

Если вы задаете какие-либо объединенные примитивные начальные условия с Объединенными Начальными блоками Привода Условия, эти начальные значения условия всегда заменяют любые начальные значения вектора состояния, заданные через команду linmod.
Объединенные примитивы с блоками JICA предпочтительно выбраны для набора независимых государств в линеаризации.
Постарайтесь не включать дискретные события или разрывы движения в линеаризовавшей модели. Если вы включаете событие - или инициировавшие разрыв блоки, гарантируете, что машина не вызывает разрывы, когда это перемещается через линеаризовавший режим, вы моделируете.
Использование Объединенных блоков Привода Прилипания в линеаризовавшей модели вызывает ошибку.
Поскольку замкнутые циклы налагают ограничения на состояния, вы не можете линеаризовать модель Simscape Multibody с обратной связью с командой linmod2.

Линеаризация в присутствии приведения в действие движения

Линеаризация Simscape Multibody использует только ускорение в качестве независимого входа приведения в действие движения, потому что это эквивалентно силе или крутящему моменту. Подобное ограничение содержит для образцовой обрезки; смотрите Обрезку в присутствии Приведения в действие Движения. Как следствие единственный сигнал приведения в действие движения, который может быть установлен как образцовый вход, является ускоряющим сигналом.

Если вы хотите линеаризовать модель Simscape Multibody, содержащую приводы движения, вы должны

Заставьте части скорости и положения/угла приведения в действие движения сигнализировать о зависимом только на ускоряющем сигнале
Сделайте скорость и положение/угол сопоставимыми с ускоряющей частью при помощи блоков Интегратора. Сигнал приведения в действие движения является вектором с компонентами, упорядоченными как положение/угол, скорость и ускорение, соответственно.
Этот метод рекомендуется в Стабилизации Числовых Производных в Сигналах Приведения в действие. Это требуется здесь.

Подобное ограничение содержит для образцовой обрезки; смотрите Обрезку в присутствии Приведения в действие Движения.

Приведение в действие движения как образцовый вход для линеаризации

Линеаризация в присутствии Приведения в действие Движения. Можно поместить образцовый входной порт в другую часть модели, затем питать тот вход как ускорение в привод движения со строкой Сигнала Simulink. Необходимо все еще вывести сигналы приведения в действие движения скорости и положения/угла таким же образом: путем интеграции любого сигнала вы используете для ускорения однажды и дважды, соответственно.

Линеаризация открытой топологии: двойной маятник

Рассмотрите двойной маятник, первоначально зависающий прямо вверх и вниз.

Сетевая сила на маятнике является нулем в этой настройке. Маятник находится таким образом в равновесии.

Откройте модель mech_dpend_forw.

Линеаризация модели

Чтобы линеаризовать эту модель, войти

[A B C D] = linmod('mech_dpend_forw');

в командной строке MATLAB. Эта форма команды linmod линеаризует модель о начальном состоянии модели.

Примечание

Объединенные начальные условия, заданные с блоками IC всегда, заменяют любые начальные значения вектора состояния, переданные команде linmod.

Двойная модель маятника в этом примере не содержит блоков IC. Начальные условия, заданные с командой linmod, поэтому реализованы без модификации.

Получение линеаризовавшей модели в пространстве состояний

Матрицы A, B, C, D, возвращенный командой linmod, соответствуют стандартному математическому представлению модели в пространстве состояний LTI:

где x является вектором состояния модели, y являются свои выходные параметры, и u является своими входными параметрами. Двойная модель маятника не имеет никаких вводов или выводов. Следовательно, только A не является пустым. Это уменьшает модель в пространстве состояний для двойного маятника к

где

A =
         0         0    1.0000         0
         0         0         0    1.0000  
 -137.3400   39.2400         0         0
   39.2400  -19.6200         0         0

Эта модель задает отношение между производными состояния и состояниями двойного маятника. Вектор состояния модели LTI имеет тот же формат как вектор состояния модели Simscape Multibody. Simscape Multibody команда mech_stateVectorMgr дает формат вектора состояния можно следующим образом:

StateManager = mech_stateVectorMgr('mech_dpend_forw/G');
StateManager.StateNames

ans =
    'mech_dpend_forw/J2:R1:Position'
    'mech_dpend_forw/J1:R1:Position'
    'mech_dpend_forw/J2:R1:Velocity'
    'mech_dpend_forw/J1:R1:Velocity'

Умножающий право A вектором состояния x приводит к дифференциальным уравнениям состояния, соответствующим модели LTI двойного маятника,

где

Массив коэффициентов на правой стороне дифференциальных уравнений представляет матрицу частот в квадрате. Собственные значения этой матрицы являются отрицательными частотами в квадрате режимов ответа системы. Эти режимы характеризуют, как двойной маятник отвечает на небольшие возмущения около рабочей точки, которая вот равновесие без силы.

Следующая модель Simulink реализует модель в пространстве состояний, представленную этими уравнениями.

Моделирование ошибки линеаризации

Эта модель в свою очередь позволяет создание модели, расположенной в mech_dpend_lin, который вычисляет ошибку приближения LTI.

Выполнение модели дважды с верхним соединением отклонило 2 градуса и 5 градусов, соответственно, показывает увеличение по ошибке, когда начальное состояние системы отклоняется от положения равновесия маятника и когда время протекает. Это - ожидаемое поведение линейного приближения пространства состояний.

Ошибка в начальном отклонении на 5 градусов

Линеаризация с обратной связью: четыре машины панели

Функция Control System Toolbox

Этот раздел требует доступа к функции minreal Control System Toolbox.

Линеаризация машины с обратной связью является более комплексной, чем анализ открытой топологии. Каждый замкнутый цикл в машине налагает неявные ограничения, которые представляют некоторые степени свободы (DoFs) зависимый. Линеаризация такой системы должна распознать, что не все DoFs независимы. Прямая реализация команды linmod приводит к избыточным системным состояниям. Можно устранить их с функцией minreal, которая находит, что минимальное пространство состояний должно было представлять линеаризовавшую модель. Чтобы гарантировать, что minreal производит непустое пространство состояний, необходимо линеаризовать машину с обратной связью по крайней мере с одним входом u и одним выводом y.

mech_four_bar_lin иллюстрирует это сокращение независимого DoFs: из этих четырех шарнирных соединений только один - независимая степень свободы, которая может быть взята в качестве любого из revolutes. Эта модель задает переменные рабочей области в порядке сконфигурировать начальную геометрию длин и углов (выраженный в модели в метрах и радианах, соответственно). Запустите модель в режиме Forward Dynamics.

Рассмотрите стратегию линеаризовать модель о (стабильном) естественном равновесии четырех панелей. Вы сначала находите естественную настройку равновесия, которая лучше всего выполняется путем анализа ограничений цикла, высказывания предположения, и затем использования команды trim, чтобы определить равновесие точно. После выбора системного ввода и вывода вы затем линеаризуете систему.

Анализ четырех геометрии панели и ограничения с обратной связью

Можно определить ограничения, и независимый DoFs четырех панелей с геометрическими и тригонометрическими тождествами обратился к своей четырехсторонней форме. Длинами панелей является l ₁, l ₂, и l ₃, с фиксированной основой, имеющей длину l ₄.

Четыре объединенных угла удовлетворяют α + β + γ + δ = 2π. Предположите сокращать четырехугольник по диагонали от α до γ вершин, затем от β до δ вершин. Закон косинусов применился к этим диагоналям и треугольникам так сформированные результаты в двух ограничениях:

l ₁₂ + l ₂₂ - 2l1l2cosγ = l ₃₂ + l ₄₂ - 2l3l4cosα

l ₂₂ + l ₃₂ - 2l2l3cosβ = l ₁₂ + l ₄₂ - 2l1l4cosδ

Эти четыре угла таким образом подвергаются трем ограничениям. Выберите α (угол заводной рукоятки) как независимая степень свободы. Можно определить β, γ, и δ от α путем инвертирования ограничений.

Высказывание предположения равновесия

Сначала угадайте естественное равновесие. Очевидное предположение для естественного равновесия для заводной рукоятки (Панель 3), чтобы указать прямо вниз, α =^-90o.

Используйте четырехсторонние ограничения, чтобы найти
β = ^313.2o, γ = ^60.3o, и δ = ^76.5o
Переопределите углы рабочей области к этим значениям (преобразованный в радианы).
```
alpha = -90*pi/180; beta = 313.2*pi/180; gamma = 60.3*pi/180; 
delta = 76.5*pi/180;
beta2 = pi - gamma - delta; delta2 = pi - delta;
```
Обновите схему и запустите модель снова. Эта настройка не является естественным равновесием, но это близко.

Определение естественного равновесия с `trim`

Теперь найдите естественное равновесие точно путем обрезки четырех панелей способом, подобным Ограниченной Обрезке Четырех Машин Панели, но без внешнего приведения в действие крутящего момента. Revolute1 уже вручную сконфигурирован, чтобы быть соединением сокращения в замкнутом цикле, гарантируя, что степень свободы, представленная Revolute4, не устраняется из пространства состояний, когда цикл сокращается.

Установите аналитический режим на Trimming. Режим Trimming вставляет подсистему и выходной блок, который выводит четырехкомпонентный сигнал, представляющий механические ограничения, следующие из замкнутого цикла.
Используйте mech_stateVectorMgr, чтобы получить вектор состояния системы:
```
StateManager = ...
   mech_stateVectorMgr('mech_four_bar_lin/Ground_2');
StateManager.StateNames
ans =      
    'mech_four_bar_lin/Revolute2:R1:Position'
    'mech_four_bar_lin/Revolute3:R1:Position'
    'mech_four_bar_lin/Revolute4:R1:Position'
    'mech_four_bar_lin/Revolute2:R1:Velocity'
    'mech_four_bar_lin/Revolute3:R1:Velocity'
    'mech_four_bar_lin/Revolute4:R1:Velocity'
```
Revolute1 является соединением сокращения и отсутствует в списке. Состояния 1, 2, и 3 являются закрученными назад 2, 3, и 4 угла, соответственно; в то время как состояния 4, 5, и 6 являются закрученными назад 2, 3, и 4 угловых скорости, соответственно.
Настройте необходимые векторы обрезки:
```
x0 = [0;0;0;0;0;0]; ix = [];
u0 = []; iu = [];  

y0 = [0;0;0;0]; 
iy = [1;2;3;4];
dx0 = [0;0;0;0;0;0]; 
idx = [3;6];
```
Вектор x0 говорит команде trim запускать свой поиск равновесия с четырех панелей в ее начальной настройке (предположение равновесия, вы ввели в рабочую область ранее), и с нулевыми угловыми скоростями. Индексный ix вектора устанавливает состояния, которые, в фактическом равновесии, должны сохранить значения заданными в x0. Здесь нет ни одного.
u0 и векторы iu задают системные входные параметры, но нет ни одного.
Вектор y0 устанавливает начальные значения ограничения выходные параметры, чтобы обнулить. Индексный iy вектора требует, чтобы ограничение выходные параметры в равновесии было равно их начальным значениям (0). Это гарантирует, что решение удовлетворяет механические ограничения.
Вектор dx0 задает производные начального состояния. Начальные производные углов (т.е. угловые скорости) и угловых скоростей (т.е. угловых ускорений) обнуляются. Индексный idx вектора указывает, что скорость и ускорение Revolute4 в естественном равновесии должны исчезнуть. Не необходимо ограничить производные других состояний, потому что система имеет только одну независимую степень свободы.
Теперь обрежьте систему:
```
[x,u,y,dx] = ...
   trim('mech_four_bar_lin',x0,u0,y0,ix,iu,iy,dx0,idx);
```
Вектор u пуст. Компоненты y и dx исчезают в допусках, указывая, что в равновесии, соответственно, механические ограничения удовлетворены, и производные состояния исчезают. Последние три компонента x исчезают, указывая на нулевые угловые скорости в равновесии. Первые три компонента x представляют естественные углы равновесия (в радианах), измеренный как отклонения от начальной настройки. Угол Revolute4 является-0.2395 радами =^-13.7o от отправной точки.
От x можно вычислить все угловые значения. Естественное равновесие является _αeq =^-90o - ^13.7o =^-103.7o, _βeq = ^310.1o + ^13.0o = ^323.1o, _γeq = ^60.3o + ^2.5o = ^62.8o, и _δeq = ^360o - _αeq - _βeq - _γeq = ^74.7o.

Линеаризация модели в естественном равновесии

Можно теперь линеаризовать систему в этой точке для обрезки.

Сбросьте углы в своей рабочей области к естественной точке равновесия:

alpha = alpha + x(3); beta = beta + x(2); gamma = gamma + x(1);
delta = 2*pi - alpha - beta - gamma; beta2 = pi - gamma - delta;
delta2 = pi - delta;

Возвратите аналитический режим к Forward Dynamics и обновите схему. Запустите модель, чтобы проверять, что механизм действительно не перемещается.
Чтобы получить нетривиальную линеаризовавшую модель, вам нужны по крайней мере один вход и один вывод. Соедините Объединенный Привод с Revolute4, чтобы привести в действие его с крутящим моментом. Затем вставьте Simulink Inport и блоки Выходного порта, чтобы ввести крутящий момент и измерить угловую скорость.
Обнулите входной крутящий момент и начальное состояние к начальной настройке модели, естественному равновесию:
```
u = 0; x = [0;0;0;0;0;0];
```
Линеаризуйте модель и используйте minreal, чтобы устранить избыточные состояния:
```
[A,B,C,D] = linmod('mech_four_bar_lin',x,u); 
[a,b,c,d] = minreal(A,B,C,D);
```
оставляя два состояния, α и dα/dt. a компонента (2,1) =-80.1 <0, указывая, что это естественное равновесие стабильно. Линеаризовавшим движением управляет ^d2α/dt2 = a (2,1) *α.

Для получения дополнительной информации о пространстве состояний и линеаризации

Смотрите Линеаризацию Открытой Топологии: Двойной Маятник для больше о линеаризовавшем представлении пространства состояний.

Документация