Вычислите левую нормированную взаимно-простую факторизацию системы SISO.

sys = zpk([1 -1+2i -1-2i],[-1 2+1i 2-1i],1);
[fact,Ml,Nl] = lncf(sys);

Исследуйте исходную систему и ее факторы.

sys

sys =
 
  (s-1) (s^2 + 2s + 5)
  --------------------
  (s+1) (s^2 - 4s + 5)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

zpk(Ml)

ans =
 
  0.70711 (s+1) (s^2 - 4s + 5)
  ----------------------------
    (s+1) (s^2 + 3.162s + 5)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

zpk(Nl)

ans =
 
  0.70711 (s-1) (s^2 + 2s + 5)
  ----------------------------
    (s+1) (s^2 + 3.162s + 5)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

Числители факторов Ml и Nl являются знаменателем и числителем sys, соответственно. Таким образом, sys = Ml\Nl. lncf выбирает знаменатели факторов, таким образом что система $\left[{\mathit{M}}_{\mathit{l}}\left(\mathit{j}\omega \right),{\mathit{N}}_{\mathit{l}}\left(\mathit{j}\omega \right)\right]$ единичный вектор на всех частотах. Чтобы подтвердить что свойство факторизации, исследуйте сингулярные значения fact, который является стабильной минимальной реализацией $\left[{\mathit{M}}_{\mathit{l}}\left(\mathit{j}\omega \right),{\mathit{N}}_{\mathit{l}}\left(\mathit{j}\omega \right)\right]$.

sigma(fact)

В небольшой числовой ошибке сингулярное значение fact равняется 1 (0 дБ) на всех частотах.

Вычислите левую нормированную взаимно-простую факторизацию модели в пространстве состояний, которая имеет два выходных параметров, два входных параметров и три состояния.

rng(0); % for reproducibility
sys = rss(3,2,2);
[fact,Ml,Nl] = lncf(sys);

fact является стабильной минимальной реализацией факторизации, данной [Ml,Nl].

isstable(fact)

ans = logical
   1

Другое свойство fact состоит в том, что его частотная характеристика F (jω) является ортогональной матрицей на всех частотах (F (jω)’F (jω) = I). Подтвердите это свойство путем исследования сингулярных значений fact. В небольшой числовой ошибке сингулярные значения равняются 1 (0 дБ) на всех частотах.

sigma(fact)

Подтвердите, что факторы удовлетворяют sys = Ml\Nl путем исследования сингулярных значений обоих.

sigma(sys,'b-',Ml\Nl,'r--')