Тестирование гипотезы является общепринятой методикой рисования выводов о генеральной совокупности на основе статистических данных от выборки.
Как пример, предположите, что кто-то говорит, что в определенное время в Массачусетсе средняя стоимость галлона обычного неэтилированного газа составляла 1,15$. Как вы могли определить истину оператора? Вы могли попытаться найти цены на каждой автозаправочной станции в состоянии в то время. Тот подход был бы категоричным, но это могло быть длительным, дорогостоящим, или даже невозможным.
Более простой подход должен был бы найти цены в небольшом количестве случайным образом выбранных автозаправочных станций вокруг состояния, и затем вычислить демонстрационное среднее значение.
Демонстрационные средние значения отличаются друг от друга случайно изменчивость в процессе выбора. Предположим, что ваше демонстрационное среднее значение выходит, чтобы быть 1,18$. Действительно ли различием за 0,03$ является артефакт случайной выборки или значительного доказательства, что средняя стоимость галлона газа была на самом деле больше, чем 1,15$? Тестирование гипотезы является статистическим методом для того, чтобы принять такие решения.
Этот пример показывает, как использовать тестирование гипотезы, чтобы анализировать цены на газ, измеренные через Массачусетс в течение двух отдельных месяцев.
Этот пример использует данные о цене на газ в файле gas.mat. Файл содержит две случайных выборки цен на галлон газа вокруг Массачусетса в 1 993. Первая выборка, price1, содержит 20 случайных наблюдений вокруг состояния в один день в январе. Вторая выборка, price2, содержит 20 случайных наблюдений вокруг состояния один месяц спустя.
load gas
prices = [price1 price2];Как первый шаг, вы можете хотеть протестировать предположение, что выборки прибывают из нормальных распределений. График нормального распределения дает быструю идею.
normplot(prices)
Оба рассеяния приблизительно следуют за прямыми линиями через первые и третьи квартили выборок, указывая на аппроксимированные нормальные распределения. Февральская выборка (правая строка) показывает небольшое отклонение от нормальности в более низком хвосте. Сдвиг в среднем значении с января по февраль очевиден. Тест гипотезы используется, чтобы определить количество теста нормальности. Поскольку каждая выборка является относительно маленькой, тест Lilliefors рекомендуется.
lillietest(price1)
ans = 0
lillietest(price2)
ans = 0
Уровень значения по умолчанию lillietest составляет 5%. Логический ноль, возвращенный каждым тестом, указывает на отказ отклонить нулевую гипотезу, что выборки нормально распределены. Этот отказ может отразить нормальность в генеральной совокупности, или это может отразить отсутствие убедительных доказательств против нулевой гипотезы из-за размера небольшой выборки.
Теперь вычислите демонстрационные средние значения.
sample_means = mean(prices)
sample_means = 1×2
115.1500 118.5000
Вы можете хотеть протестировать нулевую гипотезу, что средняя цена через состояние в день январской выборки составляла 1,15$. Если вы знаете, что стандартное отклонение в ценах через состояние имеет исторически, и последовательно, 0,04$, то z-тест является соответствующим.
[h,pvalue,ci] = ztest(price1/100,1.15,0.04)
h = 0
pvalue = 0.8668
ci = 2×1
1.1340
1.1690
Логический вывод h = 0 указывает на отказ отклонить нулевую гипотезу на уровне значения по умолчанию 5%. Это - последствие высокой вероятности по нулевой гипотезе, обозначенной p значением, наблюдения значения как экстремальное значение или более экстремальный из z-статистической-величины, вычисленной из выборки. 95%-й доверительный интервал на среднем значении [1.1340 1.1690] включает предполагавшееся среднее значение генеральной совокупности 1,15$.
Более поздняя выборка предлагает более сильное доказательство для отклонения нулевой гипотезы в масштабе штата средней стоимости 1,15$ в феврале? Сдвиг, показанный в графике вероятности и различии в вычисленных демонстрационных средних значениях, предлагает это. Сдвиг может указать на значительное колебание рынка, вызывающего вопросы о валидности использования исторического стандартного отклонения. Если известное стандартное отклонение не может быть принято, t-тест более соответствующий.
[h,pvalue,ci] = ttest(price2/100,1.15)
h = 1
pvalue = 4.9517e-04
ci = 2×1
1.1675
1.2025
Логический вывод h = 1 указывает на отклонение нулевой гипотезы на уровне значения по умолчанию 5%. В этом случае 95%-й доверительный интервал на среднем значении не включает предполагавшееся среднее значение генеральной совокупности 1,15$.
Вы можете хотеть исследовать сдвиг в ценах немного более тесно. Функциональный ttest2 тестирует, если две независимых выборки прибывают из нормальных распределений с равными но неизвестными стандартными отклонениями и тем же средним значением против альтернативы, что средние значения неравны.
[h,sig,ci] = ttest2(price1,price2)
h = 1
sig = 0.0083
ci = 2×1
-5.7845
-0.9155
Нулевая гипотеза отклоняется на 5%-м уровне значения по умолчанию, и доверительный интервал на различии средних значений не включает предполагавшееся значение 0. С пазами диаграмма является другим способом визуализировать сдвиг.
boxplot(prices,1)
h = gca;
h.XTick = [1 2];
h.XTickLabel = {'January','February'};
xlabel('Month')
ylabel('Prices ($0.01)')
График отображает распределение выборок вокруг их медиан. Высоты меток в каждом поле вычисляются так, чтобы бок о бок поля имели неперекрывающиеся метки, когда их медианы отличаются на 5%-м уровне значения по умолчанию. Вычисление основано на предположении о нормальности в данных, но сравнение довольно устойчиво для других дистрибутивов. Бок о бок графики обеспечивают своего рода визуальный тест гипотезы, сравнивая медианы, а не средние значения. График выше, кажется, едва отклоняет нулевую гипотезу равных медиан.
Непараметрический тест суммы ранга Wilcoxon, реализованный функциональным ranksum, может использоваться, чтобы определить количество теста равных медиан. Это тестирует, если две независимых выборки прибывают из непрерывного идентичного (не обязательно нормальный) дистрибутивы с равными медианами против альтернативы, что у них нет равных медиан.
[p,h] = ranksum(price1,price2)
p = 0.0095
h = logical
1
Тест отклоняет нулевую гипотезу равных медиан на 5%-м уровне значения по умолчанию.
boxplot | lillietest | normplot | ttest | ttest2 | ztest